Considere a função algébrica f(x)=2 x-raiz9 x^2+16x-2.
Determine as assíntotas horizontais de f.

Passo 1

Temos a função algébrica f(x)=2x-raiz9x^2+16x-2. O conteúdo é assíntota horizontal, e para achá-la vamos precisar calcular os limites limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x).

Passo 2

Para xto+infty, começamos aproximando a raiz de forma assintótica:
raiz9x^2+16 =3|x|raiz1+169x^2 =3x(1+12169x^2+cdots) =3x+83x+O(x^-3)

Passo 3

Com essa expansão, o numerador de f(x) fica
2x-raiz9x^2+16=2x-l(3x+tfrac83x+cdotsr)=-x-tfrac83x+O(x^-3),
e o denominador é
x-2=xl(1-tfrac2xr)

Passo 4

Logo
f(x)=-x-tfrac83x+cdotsxl(1-tfrac2xr) =-1-tfrac83x^2+cdots1-tfrac2x
que tende a -1 quando xto+infty.

Passo 5

Para xto-infty, fazemos análise semelhante. A raiz expande-se como:
raiz9x^2+16 =3|x|raiz1+169x^2 =3(-x)(1+12169x^2+cdots) =-3x-83x+O(x^-3)

Passo 6

O numerador passa a ser
2x-raiz9x^2+16=2x-l(-3x-tfrac83x+cdotsr)=5x+tfrac83x+O(x^-3),
e dividindo por x-2approx x obtemos
f(x)=5x+tfrac83x+cdotsx(1-tfrac2x) =5+tfrac83x^2+cdots1-tfrac2x
que tende a 5 quando xto-infty.

Passo 7

Portanto, as assíntotas horizontais são as retas correspondentes aos limites nos dois infinitos.

Resposta

As assíntotas horizontais são y = -1 e y = 5.

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