Considere a função algébrica f(x)=2 x-raiz9 x^2+16x-2.
Determine o domínio e a assíntota vertical de f a partir do estudo dos limites laterais, e esboce o gráfico de f usando as assíntotas como guias.

Passo 1

Temos a função f(x)=2x - raiz9x^2 + 16x - 2. Vamos determinar o domínio, depois a assíntota vertical estudando os limites laterais em x=2, em seguida achar as assíntotas horizontais pelos limites no infinito para guiar o esboço do gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio de f, observamos duas coisas: o radical precisa ser definido e o denominador não pode ser zero. Como 9x^2 + 16>=0 para todo xinR, a raiz quadrada está sempre definida. Já o denominador x-2 não pode ser zero. Logo o domínio é
Rsetminus2

Passo 3

Para a assíntota vertical em x=2, calculamos os limites laterais. Note que o numerador tende a
2cdot2 - raiz9cdot2^2 + 16 = 4 - raiz52 = 4 - 2raiz13 neq 0
Assim, conforme xto2^+ temos denominador >0 muito pequeno, numerador negativo aproximado por 4-2raiz13, logo f(x)to -infty. Para xto2^-, o denominador é negativo e o numerador o mesmo, então f(x)to +infty. Isso caracteriza a assíntota vertical
x = 2

Passo 4

Para orientar o esboço do gráfico, vamos também às assíntotas horizontais. Calculamos
limxto+infty f(x) = limxto+infty 2x - raiz9x^2+16x-2 = -1,
pois raiz9x^2+16 = 3x + o(1). E
limxto-infty f(x) = limxto-infty 2x - raiz9x^2+16x-2 = 5,
já que raiz9x^2+16 = -3x + o(1) para xto-infty. Assim temos as assíntotas horizontais
y=-1 (,xto+infty,)e y=5 ,(xto-infty)

Passo 5

Para esboçar o gráfico, usamos: a assíntota vertical x=2, as horizontais y=-1 e y=5, e alguns pontos como f(0)=2. No ramo x<2, f(x)to+infty quando xto2^- e se aproxima de y=5 para xto-infty. No ramo x>2, f(x)to-infty para xto2^+ e se aproxima de y=-1 para xto+infty. Esses dados bastam para traçar o esboço qualitativo da curva.

Passo 6

Com essas assíntotas e a análise de comportamento, obtemos um esboço que mostra dois ramos: à esquerda de x=2 caindo de +infty para y=5, e à direita de x=2 subindo de -infty para y=-1.

Resposta

Domínio: Rsetminus2. Assíntota vertical: x=2.

Exercícios relacionados