Determine x para que a série seja convergente. ( Convencionaremos aqui que 0^0=1.)
sumn=1^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar os valores de x que fazem a série sumn=1^infty(-1)^n,x^2n+1(2n+1)! convergir. Isso é conteúdo de séries de potências e vamos usar principalmente o teste da razão para verificar a convergência.

Passo 2

O teste da razão diz que, para uma série de termos an, se o limite L = limntoinfty l|an+1/anr| existir, então a série converge absolutamente se L<1 e diverge se L>1. Aqui temos an = (-1)^n dfracx^2n+1(2n+1)!. Vamos calcular
$$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|{2(n+1)+1}/(2(n+1)+1)!}{|x|{2n+1}/(2n+1)!}.
$$

Passo 3

Simplificando a fração:
$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x|^{2};\frac{(2n+1)!}{(2n+3)!} = |x|^{2};\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}.
$$

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty |x|^2;1(2n+2)(2n+3) = |x|^2 cdot 0 = 0

Passo 5

Como esse limite L=0 é menor que 1 para todo x real (ou complexo), a série converge absolutamente para qualquer valor de x.

Resposta

A série converge para todo xinR.

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