Considere a função
h(x)= \begin{cases}\frac{a\left(x^{2}-9\right)}{x-3} & \text { se } x>3 \\\ b & \text { se } x=3 \\\ \frac{\frac{2}{1+x}-\frac{1}{2}}{x-3} & \text { se } x<3\end{cases}
Determine os valores de a e b para que a função h seja contínua em x=3.
a) a=-\frac{1}{48}, b=-\frac{1}{8}
b) a=\frac{1}{48}, b=\frac{1}{8}
c) a=-\frac{1}{24}, b=-\frac{1}{4}
d) a=\frac{1}{24}, b=-\frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
h(x)= \begin{cases}\frac{a\left(x^{2}-9\right)}{x-3} & \text{se } x>3,\\[4pt] b & \text{se } x=3,\\[4pt] \frac{\frac{2}{1+x}-\frac{1}{2}}{x-3} & \text{se } x<3,\end{cases}
e pede: determinar os valores de a e b para que h seja contínua em x=3.
Informações relevantes fornecidas:
\;a e \;b são constantes a determinar; a continuidade deve valer exatamente em \;x=3; as expressões para x>3 e x<3 são funções dadas por fórmulas racionais que podem ser simplificadas quando x\neq3.]

Passo 2

Lembrete didático sobre continuidade num ponto: uma função h é contínua em x=3 se e somente se
\lim_{x\to3^-} h(x)=\lim_{x\to3^+} h(x)=h(3).
Aqui h(3)=b. Portanto precisamos calcular as duas limites laterais \lim_{x\to3^-}h(x) e \lim_{x\to3^+}h(x) e exigir que ambos sejam iguais a b. Vou ensinar a calcular cada limite passo a passo.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to3^+}h(x). Para x>3 temos
\frac{a\left(x^{2}-9\right)}{x-3}.
Explicação/áula rápida: sempre que vemos x^2-9 podemos fatorar como diferença de quadrados:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Substituindo:
\frac{a\left(x^{2}-9\right)}{x-3}=\frac{a(x-3)(x+3)}{x-3}.
Como estamos tomando o limite em torno de x=3 mas com x\neq3, podemos cancelar o fator (x-3), ficando
a(x+3).
Agora, usando que a(x+3) é contínua, o limite quando x\to3 é simplesmente o valor obtido substituindo x=3:
\lim_{x\to3^+} h(x)=a(3+3)=6a.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to3^-}h(x). Para x<3 temos
\frac{\frac{2}{1+x}-\frac{1}{2}}{x-3}.
Vamos simplificar o numerador passo a passo (aqui uma pequena aula de manipulação algébrica de frações):
o numerador é \frac{2}{1+x}-\frac{1}{2}. Colocamos em comum denominador 2(1+x):
\frac{2}{1+x}-\frac{1}{2}=\frac{4-(1+x)}{2(1+x)}=\frac{3-x}{2(1+x)}.
Então a expressão completa fica
\frac{\frac{3-x}{2(1+x)}}{x-3}=\frac{3-x}{2(1+x)(x-3)}.
Observe que 3-x=-(x-3). Substituindo:
\frac{3-x}{2(1+x)(x-3)}=\frac{-(x-3)}{2(1+x)(x-3)}=-\frac{1}{2(1+x)},
para x\neq3. Agora o limite quando x\to3 é direto, substituindo x=3 na expressão contínua:
\lim_{x\to3^-} h(x)=-\frac{1}{2(1+3)}=-\frac{1}{8}.

Passo 5

Agora aplicamos a condição de continuidade: os dois limites laterais têm de ser iguais entre si e iguais a h(3)=b. Assim
\lim_{x\to3^+}h(x)=6a,\qquad \lim_{x\to3^-}h(x)=-\frac{1}{8},
devem satisfazer
6a=-\frac{1}{8}\quad\text{e}\quad b=-\frac{1}{8}.
Resolvendo para a:
a=-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{6}=-\frac{1}{48}.
Portanto a=-\frac{1}{48} e b=-\frac{1}{8}. Estamos quase lá — confere rápido: com esse a o limite pela direita é 6\cdot(-\tfrac{1}{48})=-\tfrac{1}{8}, igual ao limite pela esquerda, ótimo!

Passo 6

Conclusão final e correspondência com as alternativas: os valores encontrados são \;a=-\frac{1}{48} e \;b=-\frac{1}{8}, que correspondem à alternativa (a). Boa — você conseguiu! Um passo de cada vez e a conta fecha.

Resposta

\;a=-\frac{1}{48},\; b=-\frac{1}{8}

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