Calcule o limite \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 x^{2}}-\sqrt{1-2 x^{2}}}{x^{2}}
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2x^{2}}-\sqrt{1-2x^{2}}}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma fração cujo numerador é a diferença de duas raízes quadradas \sqrt{1+2x^{2}} e \sqrt{1-2x^{2}}.
  • A variável x tende a 0.
  • Trata-se de uma questão objetiva com alternativas: a) 0, b) 1, c) 2, d) 3.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a técnica de racionalizar o numerador (multiplicar por conjugado). Porquê? Porque temos diferença de radicais; multiplicando pelo conjugado \sqrt{1+2x^{2}}+\sqrt{1-2x^{2}} eliminamos as raízes no numerador e obtemos uma expressão algébrica mais simples onde aparece um fator x^{2} que pode cancelar com o denominador. Isso é um método básico e eficaz para limites com raízes.

Passo 3

Aplicando a multiplicação pelo conjugado:
\frac{\sqrt{1+2x^{2}}-\sqrt{1-2x^{2}}}{x^{2}} = \frac{(\sqrt{1+2x^{2}}-\sqrt{1-2x^{2}})\,(\sqrt{1+2x^{2}}+\sqrt{1-2x^{2}})}{x^{2}\,(\sqrt{1+2x^{2}}+\sqrt{1-2x^{2}})}.
No numerador fazemos a diferença de quadrados:
(\sqrt{1+2x^{2}})^2-(\sqrt{1-2x^{2}})^2=(1+2x^{2})-(1-2x^{2})=4x^{2}.
Portanto a expressão fica
\frac{4x^{2}}{x^{2}\,(\sqrt{1+2x^{2}}+\sqrt{1-2x^{2}})}.

Passo 4

Cancelamos o fator comum x^{2} (válido para x\neq 0; estamos calculando limite, então consideramos x próximo de 0, não exatamente 0):
\frac{4x^{2}}{x^{2}\,(\sqrt{1+2x^{2}}+\sqrt{1-2x^{2}})}=\frac{4}{\sqrt{1+2x^{2}}+\sqrt{1-2x^{2}}}.
Agora fazemos o limite quando x\to 0. A função \sqrt{\cdot} é contínua perto de 1, então podemos substituir x=0 no denominador:
\sqrt{1+2\cdot 0^{2}}+\sqrt{1-2\cdot 0^{2}}=1+1=2.
Logo o valor do limite é \dfrac{4}{2}=2.

Passo 5

Verificação alternativa (curta) usando expansão: para u pequeno vale \sqrt{1+u}=1+\dfrac{u}{2}+O(u^{2}). Tomando u=2x^{2} e u=-2x^{2},
\sqrt{1+2x^{2}}-\sqrt{1-2x^{2}} \approx \left(1+x^{2}\right)-\left(1-x^{2}\right)=2x^{2},
dividindo por x^{2} obtemos 2. Isso confirma o resultado anterior.

Passo 6

Conclusão: o limite vale 2, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) 2

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