Calcule o limite
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão é uma fração cujo numerador é a diferença de duas raízes quadradas
e . - A variável
tende a . - Trata-se de uma questão objetiva com alternativas: a)
, b) , c) , d) .
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a técnica de racionalizar o numerador (multiplicar por conjugado). Porquê? Porque temos diferença de radicais; multiplicando pelo conjugado
eliminamos as raízes no numerador e obtemos uma expressão algébrica mais simples onde aparece um fator
que pode cancelar com o denominador. Isso é um método básico e eficaz para limites com raízes.
Passo 3
Aplicando a multiplicação pelo conjugado:
No numerador fazemos a diferença de quadrados:
Portanto a expressão fica
Passo 4
Cancelamos o fator comum
(válido para
; estamos calculando limite, então consideramos
próximo de 0, não exatamente 0):
Agora fazemos o limite quando
. A função
é contínua perto de
, então podemos substituir
no denominador:
Logo o valor do limite é
.
Passo 5
Verificação alternativa (curta) usando expansão: para
pequeno vale
. Tomando
e
,
dividindo por
obtemos
. Isso confirma o resultado anterior.
Passo 6
Conclusão: o limite vale
, que corresponde à alternativa (c).
Resposta
c) 2