e pede a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0,0).
Para isso precisamos calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y em (0,0) e usar a fórmula do plano tangente
z = f(0,0) + fx(0,0),x + fy(0,0),y
]
Passo 2
Calculamos fx(0,0) pela definição de derivada parcial:
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0f(h,0)h
Quando y=0, a função vale
f(h,0)=sinl(h^4r)h^2
Usando o limite clássico limtto0sin t/t=1 com t=h^4, temos sin(h^4)=h^4(1+o(1)), logo
f(h,0)=h^4(1+o(1))h^2=h^2(1+o(1))
Assim
f(h,0)h=h(1+o(1))longrightarrow0,
portanto
fx(0,0)=0
Passo 3
De modo completamente análogo, para fy(0,0) usamos
fy(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto0f(0,k)k
e, como
f(0,k)=sinl(k^4r)k^2=k^2(1+o(1)),
segue
f(0,k)k=k(1+o(1))longrightarrow0,
logo
fy(0,0)=0
Passo 4
Agora que conhecemos f(0,0)=0, fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0, a equação do plano tangente é
z = 0 + 0cdot x + 0cdot y,
ou seja
z=0
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0,0) é