Considere a função:
f(x, y)= sin (x^4+y^4)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Calcule a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= sinl(x^4+y^4r)x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[1ex] 0,& (x,y)=(0,0),
e pede a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0,0).
Para isso precisamos calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y em (0,0) e usar a fórmula do plano tangente
z = f(0,0) + fx(0,0),x + fy(0,0),y
]

Passo 2

Calculamos fx(0,0) pela definição de derivada parcial:
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0f(h,0)h
Quando y=0, a função vale
f(h,0)=sinl(h^4r)h^2
Usando o limite clássico limtto0sin t/t=1 com t=h^4, temos sin(h^4)=h^4(1+o(1)), logo
f(h,0)=h^4(1+o(1))h^2=h^2(1+o(1))
Assim
f(h,0)h=h(1+o(1))longrightarrow0,
portanto
fx(0,0)=0

Passo 3

De modo completamente análogo, para fy(0,0) usamos
fy(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto0f(0,k)k
e, como
f(0,k)=sinl(k^4r)k^2=k^2(1+o(1)),
segue
f(0,k)k=k(1+o(1))longrightarrow0,
logo
fy(0,0)=0

Passo 4

Agora que conhecemos f(0,0)=0, fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0, a equação do plano tangente é
z = 0 + 0cdot x + 0cdot y,
ou seja
z=0

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0,0) é
boxedz=0

Exercícios relacionados