Verifique se a função abaixo é diferenciável em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável em (0,0).
Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis, usando a definição via derivadas parciais e o termo de erro.]
Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis, usando a definição via derivadas parciais e o termo de erro.]
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais em
(0,0) por definição.
Para
partial f/partial x(0,0) usamos
pois
sin(0)=0 .
Para
partial f/partial y(0,0) temos
pois o numerador é sempre zero.
Passo 3
A candidata à diferencial linear em
(0,0) é
Precisamos mostrar que o resto
satisfaz
Passo 4
Usamos a desigualdade
|sin(y^2)|<=|y^2| . Então
Denotando
r=raizx^2+y^2 , nota-se que
|x|<= r e
|y|<= r , de modo que
Logo
Isso mostra que o erro é
o(raizx^2+y^2) , logo
f é diferenciável em
(0,0) .
Resposta
A função é diferenciável em
(0,0) .