Verifique se a função abaixo é diferenciável em (0,0).
f(x, y)=cc x^3 sin (y^2)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)= dfracx^3sinl(y^2r)x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0)
é diferenciável em (0,0).
Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis, usando a definição via derivadas parciais e o termo de erro.]

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) por definição.
Para partial f/partial x(0,0) usamos
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
pois sin(0)=0.
Para partial f/partial y(0,0) temos
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0,
pois o numerador é sempre zero.

Passo 3

A candidata à diferencial linear em (0,0) é
L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0
Precisamos mostrar que o resto
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y)=f(x,y)
satisfaz
lim(x,y)to(0,0)R(x,y)raizx^2+y^2=0

Passo 4

Usamos a desigualdade |sin(y^2)|<=|y^2|. Então
|f(x,y)| =|x^3sin(y^2)|x^2+y^2 <=|x|^3,|y^2|x^2+y^2
Denotando r=raizx^2+y^2, nota-se que |x|<= r e |y|<= r, de modo que
|f(x,y)|<=r^3cdot r^2r^2=r^3
Logo
|R(x,y)|raizx^2+y^2 =|f(x,y)|r<=r^3r=r^2;xrightarrow[rto0];0
Isso mostra que o erro é o(raizx^2+y^2), logo f é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função é diferenciável em (0,0).

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