Considere a função g(x, y)=x y e^x^2-4 y^2.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (2,-1, g(2,-1) ).

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y)=x,y,e^x^2-4y^2
e pede o plano tangente ao gráfico de g no ponto l(2,-1,g(2,-1)r). Para isso vamos precisar de:
  1. O valor z0=g(2,-1).
  2. As derivadas parciais partial g/partial x e partial g/partial y.
  3. A fórmula do plano tangente:
z - z0 = gx(x0,y0),(x - x0) + gy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Calculamos
z0=g(2,-1) =2cdot(-1),e^2^2-4(-1)^2 = -2,e^4-4 = -2,e^0 = -2

Passo 3

Usamos produto e cadeia. Defina u(x,y)=x,y e v(x,y)=e^x^2-4y^2.
Então
gx = ux,v + u,vx = y,e^x^2-4y^2 + x,y;e^x^2-4y^2cdot(2x) = y,e^x^2-4y^2l(1+2x^2r),
gy = uy,v + u,vy = x,e^x^2-4y^2 + x,y;e^x^2-4y^2cdot(-8y) = x,e^x^2-4y^2l(1-8y^2r)

Passo 4

Em (x0,y0)=(2,-1) temos x^2-4y^2=4-4=0 e e^0=1, logo
gx(2,-1) = -1,(1+2cdot2^2) = -1,(1+8) = -9,
gy(2,-1) = 2,(1-8cdot(-1)^2) = 2,(1-8) = 2cdot(-7) = -14

Passo 5

Aplicando a fórmula do plano tangente:
z - z0 = gx(2,-1),(x-2) + gy(2,-1),(y+1)
substituindo z0=-2, gx=-9 e gy=-14:
z +2 = -9,(x-2) -14,(y+1)
Desenvolvendo e isolando z:
z = -9x +18 ;-;14y -14 ;-;2 = -9x -14y +2

Resposta

A equação do plano tangente é
boxedz = -9x ;-;14y ;+;2

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