Considere a função f: R R dada por f(x)=-x^2+b x-2, onde b é uma constante real. Sabendo que lm(f)=(-infty, 2], é correto afirmar que:
Escolha uma opção:
a. b<4
b. b^2>4
c. b>5
d. b=0
e. b é impar

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -x^2 + b x - 2
definida em R e informa que a imagem de f é (-infty,2]. Trata-se de uma parábola voltada para baixo, cujo valor máximo é o limite superior da imagem, isto é, 2. Precisamos achar b tal que o vértice de f tenha ordenada igual a 2.

Passo 2

Para uma função quadrática f(x) = ax^2 + bx + c com a<0, o vértice tem abscissa
xv = -b2a
Aqui a = -1 e o coeficiente linear (no sentido de bx) é b, logo
xv = -b2cdot(-1) = b2

Passo 3

Vamos calcular o valor de f no vértice xv = b/2. Substituindo,
fl(tfracb2r) = -l(tfracb2r)^2 + bcdotb2 - 2 = -b^24 + b^22 - 2 = b^24 - 2
Esse é o valor máximo de f.

Passo 4

Como a imagem é (-infty,2], esse valor máximo deve ser igual a 2. Então resolve-se
b^24 - 2 = 2 Longrightarrow b^24 = 4 Longrightarrow b^2 = 16

Passo 5

Da equação b^2=16 segue b = pm 4. Portanto, qualquer afirmação que seja verdadeira para os dois valores pm4 será correta. Das alternativas dadas, apenas
b^2 > 4
é necessariamente satisfeita por b=pm4, pois 16>4.

Resposta

b. b^2>4

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