Teste a série quanto à convergência ou à divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
.
O conteúdo envolvido é o estudo de séries de termos positivos e, em particular, o Teste da Integral. Para resolver, vamos verificar se a função satisfaz as hipóteses do teste e calcular a integral imprópria associada.
O conteúdo envolvido é o estudo de séries de termos positivos e, em particular, o Teste da Integral. Para resolver, vamos verificar se a função
Passo 2
O Teste da Integral diz que, se
é contínua, positiva e decrescente para
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge.
Passo 3
Verificamos as hipóteses para
-
para . -
é contínua em . - Para monotonicidade, note que
logo
é decrescente.
Passo 4
Aplicamos o teste calculando
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Como a integral diverge, o teste da integral nos diz que a série também diverge.
Resposta
A série
diverge.