Teste a série quanto à convergência ou à divergência.
sumn=10^infty 1n ln n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=10^infty 1n ln n.
O conteúdo envolvido é o estudo de séries de termos positivos e, em particular, o Teste da Integral. Para resolver, vamos verificar se a função f(x)=tfrac1xln x satisfaz as hipóteses do teste e calcular a integral imprópria associada.

Passo 2

O Teste da Integral diz que, se f(x) é contínua, positiva e decrescente para x>= a, então a série sumn=a^inftyf(n) converge se, e somente se, a integral imprópria
integrala^infty f(x),dx
converge.

Passo 3

Verificamos as hipóteses para
f(x)=1xln x, x>=10
  1. f(x)>0 para x>1.
  2. f(x) é contínua em [10,infty).
  3. Para monotonicidade, note que
f'(x) =-1+ln xx^2(ln x)^2<0 para x>1,
logo f é decrescente.

Passo 4

Aplicamos o teste calculando
integral10^infty1xln x,dx
Fazendo a substituição u=ln x, du=tfracdxx, obtemos
integral10^infty1xln x,dx =integralln 10^infty1u,du =l[ln|u|r]ln 10^infty =limttoinftyln(ln t)-ln(ln 10) =+infty
Como a integral diverge, o teste da integral nos diz que a série também diverge.

Resposta

A série sumn=10^infty 1n ln n diverge.

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