Considere a função dada por
f(x)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x+3}, & \text { se } x \leq 0 \\\ e^{x}-x-1 & \text { se } x>0\end{cases}
a) Determine f^{\prime}(x), para x<0.
b) Determine f^{\prime}(x), para x>0.
c) A função f é derivável em 0 ?

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x+3}, & \text{se } x \leq 0,\\[6pt] e^{x}-x-1, & \text{se } x>0,\end{cases}
e pede três coisas:
  1. Determinar f^{\prime}(x) para x<0.
  2. Determinar f^{\prime}(x) para x>0.
  3. Verificar se f é derivável em 0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão para f(x) quando x\le 0 é \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x+3}.
  • A expressão para f(x) quando x>0 é e^{x}-x-1.
  • Precisamos analisar derivadas laterais em 0 para decidir se f é derivável em 0.]

Passo 2

Cálculo de f^{\prime}(x) para x<0.
Primeiro, explicação didática do método: quando uma função é dada como quociente u(x)/v(x), a regra prática para derivar é a regra do quociente. Se u e v são diferenciáveis, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x)=\operatorname{sen} x e v(x)=\cos x+3. Vamos calcular u' e v':
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big)=\cos x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos x+3\big)=-\sin x.
Agora aplicamos a regra do quociente passo a passo:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{\cos x\cdot(\cos x+3)-\operatorname{sen} x\cdot(-\sin x)}{(\cos x+3)^{2}}.
Desenvolvendo o numerador com calma:
\cos x\cdot(\cos x+3)=\cos^{2}x+3\cos x,
-\operatorname{sen} x\cdot(-\sin x)=+\sin^{2}x.
Somando os termos do numerador:
\cos^{2}x+3\cos x+\sin^{2}x=(\cos^{2}x+\sin^{2}x)+3\cos x=1+3\cos x,
pois usamos a identidade trigonométrica \cos^{2}x+\sin^{2}x=1.
Portanto, para x<0 obtemos a forma simplificada
f'(x)=\frac{1+3\cos x}{(\cos x+3)^{2}},\qquad x<0.

Passo 3

Cálculo de f^{\prime}(x) para x>0.
Explicação didática das regras usadas: a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de e^{x} é e^{x}; a derivada de x é 1; constantes desaparecem.
Dado f(x)=e^{x}-x-1 para x>0, derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x},\quad \frac{d}{dx}\big(-x\big)=-1,\quad \frac{d}{dx}\big(-1\big)=0.
Somando:
f'(x)=e^{x}-1,\qquad x>0.

Passo 4

Verificação da derivabilidade em 0.
Lembrete didático: para f ser derivável em 0 precisa ser contínua em 0 e ter derivada lateral esquerda igual à derivada lateral direita. Em termos de limites,
f'_{-}(0)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h},\qquad f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h},
e precisamos que f'_{-}(0)=f'_{+}(0).
Primeiro verificamos continuidade em 0:
  • Pelo ramo x\le 0, o valor exato em 0 é
f(0)=\frac{\operatorname{sen}0}{\cos 0+3}=\frac{0}{1+3}=0.
  • Limite pela direita ( x\to 0^{+}) usando o ramo e^{x}-x-1:
\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\big(e^{x}-x-1\big)=e^{0}-0-1=0.
Como o valor em 0 e o limite pela direita coincidem e o ramo à esquerda é definido em 0, a função é contínua em 0.
Agora calculamos as derivadas laterais.
Derivada lateral esquerda f'_{-}(0):
  • Podemos usar a expressão obtida para f'(x) em x<0 e tomar o limite x\to 0^{-}:
f'_{-}(0)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1+3\cos x}{(\cos x+3)^{2}}.
Como \cos x é contínua, fazemos \cos x\to\cos 0=1, então
f'_{-}(0)=\frac{1+3\cdot 1}{(1+3)^{2}}=\frac{1+3}{4^{2}}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.
(Se preferir, poderia usar a definição com o limite do quociente incremental; o resultado é o mesmo.)
Derivada lateral direita f'_{+}(0):
  • Usando a expressão para f'(x) em x>0 e fazendo x\to 0^{+}:
f'_{+}(0)=\lim_{x\to 0^{+}}\big(e^{x}-1\big)=e^{0}-1=0.
Como verificação alternativa (pelos incrementos): para h>0,
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{e^{h}-h-1-0}{h}=\frac{e^{h}-1}{h}-1,
e como \lim_{h\to 0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=1, obtemos 1-1=0, concordando com o resultado acima.
Conclusão: f'_{-}(0)=\dfrac{1}{4} e f'_{+}(0)=0. Como as derivadas laterais não são iguais, f não é derivável em 0, embora seja contínua em 0.

Resposta

a) f'(x)=\dfrac{1+3\cos x}{(\cos x+3)^{2}},\; x<0.
b) f'(x)=e^{x}-1,\; x>0.
c) f não é derivável em 0 (pois f'_{-}(0)=\dfrac{1}{4}\neq f'_{+}(0)=0).

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