A expressão para f(x) quando x\le 0 é \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x+3}.
A expressão para f(x) quando x>0 é e^{x}-x-1.
Precisamos analisar derivadas laterais em 0 para decidir se f é derivável em 0.]
Passo 2
Cálculo de f^{\prime}(x) para x<0.
Primeiro, explicação didática do método: quando uma função é dada como quociente u(x)/v(x), a regra prática para derivar é a regra do quociente. Se u e v são diferenciáveis, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x)=\operatorname{sen} x e v(x)=\cos x+3. Vamos calcular u' e v':
Explicação didática das regras usadas: a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de e^{x} é e^{x}; a derivada de x é 1; constantes desaparecem.
Dado f(x)=e^{x}-x-1 para x>0, derivando termo a termo:
Lembrete didático: para f ser derivável em 0 precisa ser contínua em 0 e ter derivada lateral esquerda igual à derivada lateral direita. Em termos de limites,