Considere a curva dada por 2 x^{2}+y^{3}=4 x y+2.
(0,75) A equação da reta tangente à curva no ponto (1,2) é:
a) x-2 y+3=0
b) x+2 y-5=0
c) 3 x-2 y+1=0
d) 3 x+2 y-7=0
e) 6 x-y-4=0

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: a curva é dada por 2x^{2}+y^{3}=4xy+2. Pede-se a equação da reta tangente à curva no ponto (1,2). Informação relevante fornecida:
\text{Curva: }2x^{2}+y^{3}=4xy+2
\text{Ponto dado: }(1,2)
Verifico que o ponto realmente pertence à curva (útil e rápido): substituindo x=1 e y=2,
2\cdot 1^{2}+2^{3}=2+8=10
4\cdot1\cdot2+2=8+2=10,
logo o ponto está na curva. A tarefa final é escrever a equação da reta tangente nesse ponto (entre as alternativas dadas).

Passo 2

O que é a reta tangente e como vamos encontrar: a reta tangente a uma curva em um ponto tem inclinação igual à derivada da função implícita naquele ponto, isto é, igual a \dfrac{dy}{dx} avaliada no ponto. Aqui y é uma função de x definida implicitamente pela equação dada. Denotamos \dfrac{dy}{dx} por y'. Depois de obter y'(x,y) via diferenciação implícita, substituímos x=1 e y=2 para achar a inclinação m. Em seguida usamos a fórmula da reta com ponto-inclinação:
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=(1,2).

Passo 3

Diferenciação implícita (regra da cadeia e regra do produto): derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x. Explico as regras usadas:
  • Derivada de 2x^{2} em relação a x é 4x.
  • Para y^{3}: y depende de x, então aplicamos a regra da cadeia; a derivada é 3y^{2}\cdot y' (porque derivada de u^{3} é 3u^{2} e \dfrac{du}{dx}=y').
  • Para 4xy: é um produto 4\cdot(xy); derivada de xy usa regra do produto: (xy)'=x'y + x y' = 1\cdot y + x y' = y + x y'. Multiplicando por 4 obtém-se 4(y + x y').
    Diferenciando a equação obtemos:
4x + 3y^{2}y' = 4\bigl(y + x y'\bigr).

Passo 4

Isolando y': expandimos o lado direito e agrupamos os termos com y':
4x + 3y^{2}y' = 4y + 4x y'
Passe os termos com y' para um lado e os restantes para o outro:
3y^{2}y' - 4x y' = 4y - 4x.
Fatorando y':
y'\bigl(3y^{2}-4x\bigr) = 4(y-x).
Logo a derivada implícita é
y' = \dfrac{4(y-x)}{3y^{2}-4x}.

Passo 5

Avaliação da derivada no ponto (1,2): substituo x=1 e y=2 na expressão de y'.
Calculo do numerador:
4(y-x)=4(2-1)=4.
Calculo do denominador:
3y^{2}-4x=3\cdot 2^{2}-4\cdot 1=3\cdot 4-4=12-4=8.
Portanto
y'(1,2)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}.
A inclinação da reta tangente naquele ponto é m=\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Equação da reta tangente usando ponto-inclinação: aplico
y-y_{0}=m(x-x_{0})
com (x_{0},y_{0})=(1,2) e m=\dfrac{1}{2}:
y-2=\dfrac{1}{2}(x-1).
Multiplico ambos os lados por 2 para ficar em forma sem frações:
2y-4 = x-1.
Rearranjo para forma padrão ( Ax+By+C=0):
x - 2y +3 = 0.

Passo 7

Comparando com as opções fornecidas, a equação encontrada coincide com a alternativa (a).

Resposta

a) x-2y+3=0

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