Considere a curva dada por
.
(0,75) A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
a)
b)
c)
d)
e)
(0,75) A equação da reta tangente à curva no ponto
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: a curva é dada por
. Pede-se a equação da reta tangente à curva no ponto
. Informação relevante fornecida:
Verifico que o ponto realmente pertence à curva (útil e rápido): substituindo
e
,
logo o ponto está na curva. A tarefa final é escrever a equação da reta tangente nesse ponto (entre as alternativas dadas).
Passo 2
O que é a reta tangente e como vamos encontrar: a reta tangente a uma curva em um ponto tem inclinação igual à derivada da função implícita naquele ponto, isto é, igual a
avaliada no ponto. Aqui
é uma função de
definida implicitamente pela equação dada. Denotamos
por
. Depois de obter
via diferenciação implícita, substituímos
e
para achar a inclinação
. Em seguida usamos a fórmula da reta com ponto-inclinação:
onde
.
Passo 3
Diferenciação implícita (regra da cadeia e regra do produto): derivamos ambos os lados da igualdade em relação a
. Explico as regras usadas:
- Derivada de
em relação a é . - Para
: depende de , então aplicamos a regra da cadeia; a derivada é (porque derivada de é e ). - Para
: é um produto ; derivada de usa regra do produto: . Multiplicando por obtém-se .
Diferenciando a equação obtemos:
Passo 4
Isolando
: expandimos o lado direito e agrupamos os termos com
:
Passe os termos com
para um lado e os restantes para o outro:
Fatorando
:
Logo a derivada implícita é
Passo 5
Avaliação da derivada no ponto
: substituo
e
na expressão de
.
Calculo do numerador:
Calculo do numerador:
Calculo do denominador:
Portanto
A inclinação da reta tangente naquele ponto é
.
Passo 6
Equação da reta tangente usando ponto-inclinação: aplico
com
e
:
Multiplico ambos os lados por
para ficar em forma sem frações:
Rearranjo para forma padrão (
):
Passo 7
Comparando com as opções fornecidas, a equação encontrada coincide com a alternativa (a).
Resposta
a)