Considere a função dada por
.
(0,75) O maior intervalo de decrescimento da função
é:
a)
b)
c)
d)
e)
(0,75) O maior intervalo de decrescimento da função
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta: qual é o maior intervalo em que
é decrescente? As alternativas são:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Informações relevantes que já temos do enunciado: a função está definida para todo
porque
sempre; precisamos decidir onde
decresce (ou seja, onde
é não crescente ou estritamente decrescente, conforme for apropriado).
Passo 2
Para estudar monotonicidade vamos calcular a derivada
. Vou usar duas regras de derivação básicas, bem mastigadas:
- Derivada de
é . Aqui , então . - Derivada de
é , portanto de é .
Aplicando isso, temos
Passo 3
Agora vamos simplificar a expressão de
para analisar o sinal. Colocando em denominador comum
,
No numerador calculamos
Fatorando (ou completando o quadrado),
Portanto a derivada fica
Passo 4
Análise do sinal: o denominador
para todo
. O numerador
é sempre menor ou igual a zero, pois
e o sinal negativo torna isso
. Especificamente:
-
só em , então . - Para todo
temos e assim .
Conclusão local:
para todo
, com igualdade apenas em
. Logo
é estritamente decrescente em
e em
, e a derivada não indica aumento em nenhum ponto.
Passo 5
Agora quero justificar que isso implica que
é decrescente em todo o intervalo
. Uso o Teorema do Valor Médio (TVM): se
é contínua em
e derivável em
, existe
tal que
Nossa função é contínua e derivável em toda a reta (justificativa:
é composta de funções contínuas/deriváveis e o argumento é sempre positivo), então o TVM vale. Como vimos
para todo
, temos
Se
então
, daí
, isto é
. Isso mostra que para quaisquer
temos
: a função é decrescente (não crescente) em todo
. Como a derivada é estritamente negativa em todos os pontos exceto em um ponto isolado, não há intervalo maior que
para decrescimento — esse já é o maior possível.
Passo 6
Portanto o maior intervalo onde
é decrescente é todo o conjunto dos reais,
. Uma checagem numérica rápida para ganhar confiança:
e
, e
, compatível com decrescimento; o ponto
só faz
mas não cria região de crescimento.
Resposta
c)