Considere a função dada por f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)-x.
(0,75) O maior intervalo de decrescimento da função f é:
a) (-\infty,-1)
b) (-\infty, 1)
c) (-\infty, \infty)
d) (-1, \infty)
e) (1, \infty)

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\ln\!\big(x^{2}+1\big)-x e pergunta: qual é o maior intervalo em que f é decrescente? As alternativas são:
a) (-\infty,-1)
b) (-\infty,1)
c) (-\infty,\infty)
d) (-1,\infty)
e) (1,\infty)
Informações relevantes que já temos do enunciado: a função está definida para todo x\in\mathbb{R} porque x^{2}+1>0 sempre; precisamos decidir onde f decresce (ou seja, onde f é não crescente ou estritamente decrescente, conforme for apropriado).

Passo 2

Para estudar monotonicidade vamos calcular a derivada f'(x). Vou usar duas regras de derivação básicas, bem mastigadas:
  • Derivada de \ln(u(x)) é \dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui u(x)=x^{2}+1, então u'(x)=2x.
  • Derivada de x é 1, portanto de -x é -1.
Aplicando isso, temos
f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}-1.

Passo 3

Agora vamos simplificar a expressão de f'(x) para analisar o sinal. Colocando em denominador comum \,x^{2}+1,
f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}-\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}=\frac{2x-(x^{2}+1)}{x^{2}+1}.
No numerador calculamos
2x-(x^{2}+1)=-x^{2}+2x-1.
Fatorando (ou completando o quadrado),
-x^{2}+2x-1=-(x^{2}-2x+1)=-(x-1)^{2}.
Portanto a derivada fica
f'(x)=\frac{-(x-1)^{2}}{x^{2}+1}.

Passo 4

Análise do sinal: o denominador \,x^{2}+1>0 para todo x. O numerador -(x-1)^{2} é sempre menor ou igual a zero, pois (x-1)^{2}\ge 0 e o sinal negativo torna isso \le 0. Especificamente:
  • (x-1)^{2}=0 só em x=1, então f'(1)=0.
  • Para todo x\neq 1 temos (x-1)^{2}>0 e assim f'(x)<0.
Conclusão local: f'(x)\le 0 para todo x\in\mathbb{R}, com igualdade apenas em x=1. Logo f é estritamente decrescente em (-\infty,1) e em (1,\infty), e a derivada não indica aumento em nenhum ponto.

Passo 5

Agora quero justificar que isso implica que f é decrescente em todo o intervalo (-\infty,\infty). Uso o Teorema do Valor Médio (TVM): se f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Nossa função é contínua e derivável em toda a reta (justificativa: \ln(x^{2}+1) é composta de funções contínuas/deriváveis e o argumento é sempre positivo), então o TVM vale. Como vimos f'\text{(c)}\le 0 para todo c, temos
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'\text{(c)}\le 0.
Se a<b então b-a>0, daí f(b)-f(a)\le 0, isto é f(a)\ge f(b). Isso mostra que para quaisquer a<b temos f(a)\ge f(b): a função é decrescente (não crescente) em todo (-\infty,\infty). Como a derivada é estritamente negativa em todos os pontos exceto em um ponto isolado, não há intervalo maior que (-\infty,\infty) para decrescimento — esse já é o maior possível.

Passo 6

Portanto o maior intervalo onde f é decrescente é todo o conjunto dos reais, (-\infty,\infty). Uma checagem numérica rápida para ganhar confiança: f(0)=\ln(1)-0=0 e f(2)=\ln(5)-2\approx -0{,}39, e f(0)>f(2), compatível com decrescimento; o ponto x=1 só faz f'(1)=0 mas não cria região de crescimento.

Resposta

c) (-\infty,\infty)

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