Considere a função
dada por
Se existe, a função
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Se existe, a função
Passo 1
O enunciado pede para checar se a derivada de
existe e, em caso afirmativo, se essa derivada é contínua em
. Vamos usar regras de derivação, definição de derivada em um ponto e definição de continuidade.
Passo 2
Para
, escrevemos
e aplicamos a regra do produto junto com regra da cadeia. Assim,
Passo 3
Para
, usamos a definição
pois
é limitado e
leva o produto a zero.
Passo 4
Em qualquer
,
é combinação de funções contínuas e, portanto, contínua para
. Para verificar continuidade em 0, analisamos
O termo
, mas
oscila entre
e
sem limite quando
. Logo o limite não existe e não coincide com
.
Resposta
A derivada
existe em todo
, mas não é contínua em
, logo não é contínua em
.