Considere a função f: R R dada por f(x)=clx^2 sen(1x), & se x neq 0 0, & se x=0
Se existe, a função f^prime é contínua em R? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para checar se a derivada de
f(x)= x^2sinl(1/xr),&xneq0 0,&x=0
existe e, em caso afirmativo, se essa derivada é contínua em R. Vamos usar regras de derivação, definição de derivada em um ponto e definição de continuidade.

Passo 2

Para xneq0, escrevemos f(x)=x^2cdotsinl(1/xr) e aplicamos a regra do produto junto com regra da cadeia. Assim,
f'(x)=2xsinl(1/xr)+x^2cdotcosl(1/xr)cdotl(-1/x^2r)=2xsinl(1/xr)-cosl(1/xr)

Passo 3

Para x=0, usamos a definição
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h=limhto0h^2sinl(1/hr)h=limhto0hsinl(1/hr)=0,
pois sin(1/h) é limitado e hto0 leva o produto a zero.

Passo 4

Em qualquer xneq0, f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) é combinação de funções contínuas e, portanto, contínua para xneq0. Para verificar continuidade em 0, analisamos
limxto0f'(x)=limxto0l(2xsin(1/x)-cos(1/x)r)
O termo 2xsin(1/x)to0, mas cos(1/x) oscila entre -1 e 1 sem limite quando xto0. Logo o limite não existe e não coincide com f'(0)=0.

Resposta

A derivada f' existe em todo R, mas não é contínua em x=0, logo não é contínua em R.

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