Considere a função
dada por
A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
A função
Passo 1
O enunciado define a função f: ℝ→ℝ por f(x)=x²
sen(1/x) se x≠0 e f(0)=0, e pergunta se f é diferenciável em todo ℝ. Vamos usar conceitos de derivada de função composta e a definição de derivada no ponto.
sen(1/x) se x≠0 e f(0)=0, e pergunta se f é diferenciável em todo ℝ. Vamos usar conceitos de derivada de função composta e a definição de derivada no ponto.
Passo 2
Para x≠0, f(x)=x²
sen(1/x) é produto e composição de funções elementares (polinomial, recíproca e seno), todas diferenciáveis nesse domínio. Logo f é diferenciável para x≠0 e sua derivada é dada por derivar x²
sen(1/x):
sen(1/x) é produto e composição de funções elementares (polinomial, recíproca e seno), todas diferenciáveis nesse domínio. Logo f é diferenciável para x≠0 e sua derivada é dada por derivar x²
sen(1/x):
f’(x)=2x
sen(1/x)+x²
cos(1/x)·(−1/x²)=2x
sen(1/x)−cos(1/x).
sen(1/x)+x²
cos(1/x)·(−1/x²)=2x
sen(1/x)−cos(1/x).
Passo 3
No ponto x=0, usamos a definição de derivada:
Em linha: f’(0)=lim_{h→0} [f(h)−f(0)]/h = lim_{h→0} [h²
sen(1/h)]/h = lim_{h→0} h
sen(1/h).
sen(1/h)]/h = lim_{h→0} h
sen(1/h).
Passo 4
Como |h
sen(1/h)|≤|h| e lim_{h→0}|h|=0, o teorema do sanduíche dá lim_{h→0} h
sen(1/h)=0. Portanto f’(0)=0 e a derivada existe em x=0.
sen(1/h)|≤|h| e lim_{h→0}|h|=0, o teorema do sanduíche dá lim_{h→0} h
sen(1/h)=0. Portanto f’(0)=0 e a derivada existe em x=0.
Passo 5
Reunindo, f’(x) existe para todo x∈ℝ: para x≠0, f’(x)=2x
sen(1/x)−cos(1/x); para x=0, f’(0)=0. Assim f é diferenciável em ℝ.
sen(1/x)−cos(1/x); para x=0, f’(0)=0. Assim f é diferenciável em ℝ.
Resposta
Sim. A função é diferenciável em ℝ. Em x≠0 tem f’(x)=2x sen(1/x)−cos(1/x) e em x=0 f’(0)=0.