Considere a função f: R R dada por f(x)=clx^2 sen(1x), & se x neq 0 0, & se x=0
A função f é diferenciável em R? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função f: ℝ→ℝ por f(x)=x²
sen(1/x) se x≠0 e f(0)=0, e pergunta se f é diferenciável em todo ℝ. Vamos usar conceitos de derivada de função composta e a definição de derivada no ponto.

Passo 2

Para x≠0, f(x)=x²
sen(1/x) é produto e composição de funções elementares (polinomial, recíproca e seno), todas diferenciáveis nesse domínio. Logo f é diferenciável para x≠0 e sua derivada é dada por derivar x²
sen(1/x):
f’(x)=2x
sen(1/x)+x²
cos(1/x)·(−1/x²)=2x
sen(1/x)−cos(1/x).

Passo 3

No ponto x=0, usamos a definição de derivada:
Em linha: f’(0)=lim_{h→0} [f(h)−f(0)]/h = lim_{h→0} [h²
sen(1/h)]/h = lim_{h→0} h
sen(1/h).

Passo 4

Como |h
sen(1/h)|≤|h| e lim_{h→0}|h|=0, o teorema do sanduíche dá lim_{h→0} h
sen(1/h)=0. Portanto f’(0)=0 e a derivada existe em x=0.

Passo 5

Reunindo, f’(x) existe para todo x∈ℝ: para x≠0, f’(x)=2x
sen(1/x)−cos(1/x); para x=0, f’(0)=0. Assim f é diferenciável em ℝ.

Resposta

Sim. A função é diferenciável em ℝ. Em x≠0 tem f’(x)=2x sen(1/x)−cos(1/x) e em x=0 f’(0)=0.

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