Seja G um grupo cíclico com um único gerador. Determine a ordem de G.

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar a ordem de G, um grupo cíclico que possui exatamente um gerador. Vamos usar teoria de grupos cíclicos e a função totiente de Euler, que conta quantos geradores um grupo cíclico possui.

Passo 2

Lembrando que um grupo cíclico infinito gerado por g tem dois geradores: g e g^-1. Como G tem apenas um gerador, concluímos que G não pode ser infinito, logo deve ser finito.

Passo 3

Em um grupo cíclico finito de ordem n, o número de geradores é dado por varphi(n), a função totiente de Euler. Precisamos então achar n tal que varphi(n)=1.

Passo 4

É conhecido que varphi(n)=1 somente para n=1 ou n=2. Portanto a ordem de G deve ser 1 ou 2.

Resposta

A ordem de G é 1 ou 2.

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