Seja
um grupo cíclico com um único gerador. Determine a ordem de
.
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar a ordem de
, um grupo cíclico que possui exatamente um gerador. Vamos usar teoria de grupos cíclicos e a função totiente de Euler, que conta quantos geradores um grupo cíclico possui.
Passo 2
Lembrando que um grupo cíclico infinito gerado por
tem dois geradores:
e
. Como
tem apenas um gerador, concluímos que
não pode ser infinito, logo deve ser finito.
Passo 3
Em um grupo cíclico finito de ordem
, o número de geradores é dado por
, a função totiente de Euler. Precisamos então achar
tal que
.
Passo 4
É conhecido que
somente para
ou
. Portanto a ordem de
deve ser
ou
.
Resposta
A ordem de
é
ou
.