Identifique se as funções abaixo são contínuas em todo o conjunto .
Passo 1
A função q é dada por
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Vamos precisar usar que quocientes de polinômios são contínuos quando o denominador não se anula e analisar o limite em (0,0).
Passo 2
Para qualquer ponto (x,y)\neq(0,0) temos x2+y2>0, então q(x,y) é quociente de polinômios sem anular o denominador. Por isso q é contínua em todo ponto fora da origem.
Passo 3
Agora analisamos a continuidade em (0,0). Precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)x^2yx^2+y^2
existe e vale q(0,0)=0. Para isso, usamos coordenadas polares: x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge0.
Passo 4
Substituindo em q: os termos x2+y2 viram r^2 e x^2y vira r3\cos2\theta\sin\theta. Então