Identifique se as funções abaixo são contínuas em todo o conjunto R^2.
q(x, y)=cx^2 yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)

Passo 1

A função q é dada por
q(x,y)= dfracx^2yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Vamos precisar usar que quocientes de polinômios são contínuos quando o denominador não se anula e analisar o limite em (0,0).

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)\neq(0,0) temos x2+y2>0, então q(x,y) é quociente de polinômios sem anular o denominador. Por isso q é contínua em todo ponto fora da origem.

Passo 3

Agora analisamos a continuidade em (0,0). Precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)x^2yx^2+y^2
existe e vale q(0,0)=0. Para isso, usamos coordenadas polares: x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge0.

Passo 4

Substituindo em q: os termos x2+y2 viram r^2 e x^2y vira r3\cos2\theta\sin\theta. Então
q(r,theta)=r^3cos^2thetasinthetar^2=rcos^2thetasintheta
Como |\cos^2\theta\sin\theta|\le1, segue |q(r,\theta)|\le r. Quando r\to0, r\to0, logo q(r,\theta)\to0 independentemente de \theta.

Passo 5

Como o limite de q(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é 0, igual a q(0,0), concluímos que q é contínua também na origem. Portanto, q é contínua em todo R^2.

Resposta

A função q é contínua em todo o conjunto R^2.

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