Considere a função:
Determine:
- Se
é contínua no ponto
.
- As derivadas parciais de
no ponto
.
- Se
é diferenciável no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos fazer aqui! Temos uma função
definida de duas formas: quando
, ela é dada por
e no ponto
, ela vale
. Nosso objetivo é:
- Verificar se
é contínua no ponto . - Encontrar as derivadas parciais de
no ponto . - Determinar se
é diferenciável no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade, além de usar limites e propriedades de funções em várias variáveis.
Passo 2
1. Verificando a continuidade de
no ponto
:
Para a função ser contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Vamos calcular esse limite.
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo do limite. Em coordenadas polares, temos:
onde
e
quando
.
Substituindo na função:
Queremos calcular:
Como
para
próximo de 0, e
, temos:
Quando
, o limite se aproxima de 1.
Passo 4
Comparando com o valor da função em
, que é 0, temos:
Portanto,
não é contínua no ponto
.
Passo 5
2. Encontrando as derivadas parciais de
no ponto
:
As derivadas parciais de
em
são definidas como:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 6
Calculando
:
Simplificando para
:
Note que quando
, o numerador
e
, então:
o que significa que a derivada parcial
não existe.
Calculando
:
Da mesma forma:
Da mesma forma:
O raciocínio é idêntico a
, então:
indicando que a derivada parcial
não existe.
Passo 7
3. Verificando se
é diferenciável no ponto
:
Para
ser diferenciável em
, é necessário que:
-
seja contínua em . - As derivadas parciais existam em
.
Já vimos nos passos anteriores que
não é contínua em
e que as derivadas parciais
e
não existem.
Portanto,
não é diferenciável no ponto
.
Resposta
- A função
não é contínua no ponto . - As derivadas parciais
e não existem. - A função
não é diferenciável no ponto .