Considere a função:
f(x, y)= ( definida abaixo ), & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine:
  1. Se f(x, y) é contínua no ponto (0,0).
  2. As derivadas parciais de f(x, y) no ponto (0,0).
  3. Se f(x, y) é diferenciável no ponto (0,0).
f(x, y)=e^x^2+y^2(1+x^2+y^2)^3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos fazer aqui! Temos uma função f(x, y) = e^x^2+y^2(1+x^2+y^2)^3, definida de duas formas: quando , ela é dada por
e no ponto , ela vale . Nosso objetivo é:
  1. Verificar se é contínua no ponto .
  2. Encontrar as derivadas parciais de no ponto .
  3. Determinar se é diferenciável no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade, além de usar limites e propriedades de funções em várias variáveis.

Passo 2

1. Verificando a continuidade de lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) = 0 no ponto :
Para a função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Vamos calcular esse limite.

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo do limite. Em coordenadas polares, temos:
x = r costheta, y = r sintheta,
onde f(r, theta) = e^r^2(1 + r^2)^3 e limr to 0 e^r^2(1 + r^2)^3 quando e^r^2(1 + r^2)^3 approx 1 + r^21 + 3r^2 approx 1 - 2r^2 .
Substituindo na função:
Queremos calcular:
Como para próximo de 0, e , temos:
Quando , o limite se aproxima de 1.

Passo 4

Comparando com o valor da função em lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = 1 neq 0 = f(0,0) , que é 0, temos:
Portanto, não é contínua no ponto .

Passo 5

2. Encontrando as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h, no ponto fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k :
As derivadas parciais de em são definidas como:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 6

Calculando fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - 0h = limh to 0 e^h^2(1 + h^2)^3 cdot h :
e^h^2(1 + h^2)^3 cdot h
Simplificando para fx(0,0) = limh to 0 1h = +infty ou -infty, :
fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - 0k = limk to 0 e^k^2(1 + k^2)^3 cdot k
Note que quando fy(0,0) = limk to 0 1k = +infty ou -infty, , o numerador e , então:
o que significa que a derivada parcial não existe.
Calculando :
Da mesma forma:
O raciocínio é idêntico a , então:
indicando que a derivada parcial não existe.

Passo 7

3. Verificando se é diferenciável no ponto :
Para ser diferenciável em , é necessário que:
  • seja contínua em .
  • As derivadas parciais existam em .
Já vimos nos passos anteriores que não é contínua em e que as derivadas parciais e não existem.
Portanto, não é diferenciável no ponto .

Resposta

  1. A função não é contínua no ponto .
  2. As derivadas parciais e não existem.
  3. A função não é diferenciável no ponto .

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