Considere a função:
f(x, y)= ( definida abaixo ), & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine:
  1. Se f(x, y) é contínua no ponto (0,0).
  2. As derivadas parciais de f(x, y) no ponto (0,0).
  3. Se f(x, y) é diferenciável no ponto (0,0).
f(x, y)=cos (x+y)(1+x^4+y^4)^3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade, as derivadas parciais e a diferenciabilidade de uma função de duas variáveis no ponto (0,0). Vamos usar definição de limite para continuidade, a definição de derivada parcial como limite de diferença quociente e o fato de que diferenciabilidade implica continuidade.

Passo 2

Para ver se f é contínua em (0,0) calculamos o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y). Como para (x,y)neq(0,0) temos
f(x,y)=cos(x+y)(1+x^4+y^4)^3,
e sabemos que cos(x+y)to1 e (1+x^4+y^4)^3to1 quando (x,y)to(0,0), o limite é
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=11=1
Como f(0,0)=0 e o limite é 1 (≠0), f não é contínua em (0,0).

Passo 3

Para a derivada parcial em x no ponto (0,0) usamos a definição
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h = limhto0cos h(1+h^4)^3h
Como para pequenas h o numerador tende a 1, esse quociente se comporta como 1/h, que diverge quando hto0. Logo, f_x(0,0) não existe. De modo análogo,
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h = limhto0cos h/(1+h^4)^3h,que também diverge. Portanto, ambas as derivadas parciais não existem em (0,0).

Passo 4

Como uma função só pode ser diferenciável em um ponto se for contínua nele (e ainda tiver derivadas parciais finitas), e já vimos que f não é contínua nem tem derivadas parciais, concluímos que f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

  1. f não é contínua em (0,0) (o limite vale 1 ≠ 0). 2. As derivadas parciais f_x(0,0) e f_y(0,0) não existem (os limites divergem). 3. f não é diferenciável em (0,0).

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