Considere a função:
Determine:
- Se
é contínua no ponto
.
- As derivadas parciais de
no ponto
.
- Se
é diferenciável no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a continuidade, as derivadas parciais e a diferenciabilidade de uma função de duas variáveis no ponto (0,0). Vamos usar definição de limite para continuidade, a definição de derivada parcial como limite de diferença quociente e o fato de que diferenciabilidade implica continuidade.
Passo 2
Para ver se f é contínua em (0,0) calculamos o limite
. Como para
temos
e sabemos que
Como f(0,0)=0 e o limite é 1 (≠0), f não é contínua em (0,0).
Passo 3
Para a derivada parcial em x no ponto (0,0) usamos a definição
Como para pequenas h o numerador tende a 1, esse quociente se comporta como
Passo 4
Como uma função só pode ser diferenciável em um ponto se for contínua nele (e ainda tiver derivadas parciais finitas), e já vimos que f não é contínua nem tem derivadas parciais, concluímos que f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
- f não é contínua em (0,0) (o limite vale 1 ≠ 0). 2. As derivadas parciais f_x(0,0) e f_y(0,0) não existem (os limites divergem). 3. f não é diferenciável em (0,0).