Considere a função f: R R definida por
f(x)=cl x^2-4x^2+4 & se x <= 1 x^2+4x^2-4 & se x>1 e x neq 2 5 & se x=2
O gráfico de f admite assíntota(s) vertical(is)? Justifique!

Passo 1

O enunciado apresenta a função f:RtoR, definida por partes:
para x<=1,
f(x)=x^2-4x^2+4,
para x>1 e xneq2,
f(x)=x^2+4x^2-4,
e em x=2,
f(2)=5
Queremos investigar pontos a onde limxto af(x)=pminfty, pois são aí que podem surgir assíntotas verticais.

Passo 2

Na região x<=1, o denominador é x^2+4, que nunca se anula. Logo, não há divergência de lvert f(x)rvert nem assíntota vertical para x<=1.

Passo 3

Na região x>1 (excluindo x=2), o denominador é
x^2-4=(x-2)(x+2),
que se anula em x=2 e em x=-2. Como estamos em x>1, só x=2 pode gerar assíntota. Em x=2 a fórmula da segunda peça não vale, mas há definição f(2)=5, o que não impede investigação de assíntota.

Passo 4

Calculamos os limites laterais em x=2 usando a expressão tfracx^2+4x^2-4:
limxto2^-f(x) =limxto2^-x^2+4x^2-4 =-infty,
limxto2^+f(x) =limxto2^+x^2+4x^2-4 =+infty
Como pelo menos um dos limites laterais diverge (em módulo), concluímos que há assíntota vertical em x=2.

Resposta

O gráfico de f admite uma assíntota vertical em x=2.

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