Considere a função definida por:
f(x)= x^8, & para x <= 2, x^2, & para 2 <= x <= 3 e^x, & para 3 <= x
Deterime o valor de I=integral-2^4(f(x)+2) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral-2^4l(f(x)+2r),dx
onde
f(x)=x^8,&x<=2,x^2,&2<= x<=3,e^x,&x>=3
O conteúdo é integração de função por partes (linearidade) e aplicação das regras de potência e exponencial.

Passo 2

Precisamos quebrar a integral nos intervalos onde f(x) muda de expressão: de -2 até 2, usa x^8; de 2 até 3, usa x^2; e de 3 até 4, usa e^x. Em cada pedaço aplicamos a regra
integrall(g(x)+2r)dx=integral g(x)dx+integral2,dx

Passo 3

Cálculo em [-2,2]:
integral-2^2(x^8+2)dx = integral-2^2x^8dx + integral-2^22dx
Usando a regra da potência e da constante:
integral x^8dx=x^99,integral2dx=2x
Logo:
l[tfracx^99+2xr]-2^2 =l(tfrac2^99+4r)-l(tfrac(-2)^99-4r) =5129+4+5129+4 =10969

Passo 4

Cálculo em [2,3]:
integral2^3(x^2+2)dx = integral2^3x^2dx + integral2^32dx =l[tfracx^33+2xr]2^3 =l(9+6r)-l(tfrac83+4r) =15-tfrac203=tfrac253

Passo 5

Cálculo em [3,4]:
integral3^4(e^x+2)dx = integral3^4e^xdx + integral3^42dx =l[e^x+2xr]3^4 =l(e^4+8r)-l(e^3+6r) =e^4-e^3+2

Passo 6

Somando todos os pedaços:
$$I=\frac{1096}{9}+\frac{25}{3}+(e4-e3+2).
I=10969+253+(e^4-e^3+2) I=\frac{1096+75+18}{9}+e4-e3=\frac{1189}{9}+e4-e3.$$

Resposta

I=11899+e^4-e^3

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