Calcule a integral abaixo.
integral tan (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral tan(x),dx. O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas e vamos precisar usar a identidade tan(x)=sin(x)cos(x) junto com uma substituição simples.

Passo 2

Reescrevemos a integral como integral tan(x),dx=integral sin(x)cos(x),dx. Agora fazemos a substituição u=cos(x), de onde du=-sin(x),dx (logo sin(x),dx=-du). Substituindo na integral, ela vira integral tan(x),dx=-integral duu.

Passo 3

Para integrar, lembramos que integral duu=lnlvert urvert +C. Assim, -integral duu=-lnlvert urvert +C. Voltando para x, obtemos -lnlvertcos(x)rvert +C como antiderivada de tan(x).

Resposta

-\ln\lvert\cos(x)\rvert + C

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