Calcule a integral integral(x sin (x))^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral (xsin x)^2 ,dx. O conteúdo aqui envolve integração de funções trigonométricas ao quadrado e aplicação de identidades trigonométricas e integrações por partes.

Passo 2

Vamos usar a identidade sin^2 x=tfrac1-cos(2x)2 para reescrever o integrando:
integral x^2sin^2 x,dx = integral x^21-cos(2x)2,dx = 12integral x^2,dx - 12integral x^2cos(2x),dx

Passo 3

A primeira parcela é direta:
12integral x^2,dx = 12cdotx^33 = x^36

Passo 4

Na segunda parcela definimos J=integral x^2cos(2x),dx e aplicamos integração por partes com u=x^2 e dv=cos(2x),dx:
u=x^2, dv=cos(2x),dx
du=2x,dx, v=12sin(2x)
Isso dá
J = x^2cdot12sin(2x) - integral 12sin(2x)cdot2x,dx = x^22sin(2x) - integral xsin(2x),dx

Passo 5

Para calcular K=integral xsin(2x),dx usamos de novo partes, com u=x e dv=sin(2x),dx:
u=x, dv=sin(2x),dx
du=dx, v=-12cos(2x)
Logo
K = -x2cos(2x) + integral 12cos(2x),dx = -x2cos(2x) + 14sin(2x)

Passo 6

Substituindo K em J e voltando à integral original:
J = x^22sin(2x) - l(-x2cos(2x) + 14sin(2x)r) = x^22sin(2x) + x2cos(2x) - 14sin(2x)
Como integral x^2cos(2x),dx=J,
12integral x^2cos(2x),dx = 12 J = x^24sin(2x) + x4cos(2x) - 18sin(2x)
Finalmente, combinando tudo:
integral x^2sin^2 x,dx = x^36 - l(x^24sin(2x) + x4cos(2x) - 18sin(2x)r) + C

Resposta

x^36 - x^24sin(2x) - x4cos(2x) + 18sin(2x) + C

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