Considere a função
, definida por
.
é injetora?
Passo 1
O enunciado pede para checar se a função f: ℝ → ℝ dada por f(x)=|2x−5| é injetora. O conteúdo é injetividade de função e vamos usar a definição de injetividade junto com as propriedades do valor absoluto.
Passo 2
Lembrando a definição: f é injetora se, sempre que f(x₁)=f(x₂), isso implica x₁=x₂. Para ver se isso falha, assumimos f(x₁)=f(x₂) e vemos se podemos ter x₁≠x₂.
Passo 3
Partimos de f(x₁)=f(x₂), ou seja, |2x₁−5| = |2x₂−5|. A igualdade de módulos gera duas possibilidades:
Primeiro caso: 2x₁−5 = 2x₂−5, que simplifica para 2x₁ = 2x₂ e, portanto, x₁ = x₂.
Primeiro caso: 2x₁−5 = 2x₂−5, que simplifica para 2x₁ = 2x₂ e, portanto, x₁ = x₂.
Passo 4
Segundo caso: 2x₁−5 = −(2x₂−5), que leva a 2x₁−5 = −2x₂+5. Somando 5 em ambos lados e rearranjando, obtemos 2x₁+2x₂ = 10, isto é, x₁ + x₂ = 5.
Passo 5
No segundo caso vemos que podemos ter x₁≠x₂ satisfazendo x₁+x₂=5. Por exemplo, se x₁=2 e x₂=3 então f(2)=|2·2−5|=|−1|=1 e f(3)=|2·3−5|=|1|=1, mas 2≠3.
Como existe pelo menos um par x₁≠x₂ com f(x₁)=f(x₂), concluímos que f não é injetora.
Como existe pelo menos um par x₁≠x₂ com f(x₁)=f(x₂), concluímos que f não é injetora.
Resposta
Não. A função não é injetora, pois por exemplo f(2)=f(3)=1 mas 2≠3.