Resolva as inequações x+8x^2+7 x+12 <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação x+8x^2+7x+12 <= 0. O conteúdo envolvido é fração algébrica e inequação do 1.º grau no numerador e 2.º grau no denominador. Para resolver, vamos precisar fatorar numerador e denominador, identificar os pontos críticos (zeros do numerador e valores que anulam o denominador) e usar um estudo de sinais.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador. O numerador x+8 já é irreduzível. O denominador faz-se em dois termos:
x^2+7x+12=(x+3)(x+4)

Passo 3

Os pontos críticos vêm de zerar cada fator. Temos:
  • Numerador zero em x=-8.
  • Denominador zero em x=-4 e x=-3, mas nesses valores a expressão não está definida.

Passo 4

Agora montamos a tabela de sinais para cada fator e para o quociente no eixo real, dividindo em intervalos pelos pontos -∞, -8, -4, -3, +∞:
  • Em (-∞,-8): x+8<0, em (x+3)(x+4)>0 (ambos negativos), logo quociente negativo.
  • Em (-8,-4): x+8>0, denominador continua positivo, quociente positivo.
  • Em (-4,-3): x+8>0, denominador negativo, quociente negativo.
  • Em (-3,+∞): todos os fatores positivos, quociente positivo.
    No ponto x=-8 o quociente vale zero (aceito), e em x=-4, x=-3 não vale nada (excluídos).

Passo 5

Como queremos x+8(x+3)(x+4)<=0, escolhemos intervalos onde o quociente é negativo ou zero. Isso dá:
(-∞,-8] (nega­tivo e inclui -8) e (-4,-3) (somente negativo).

Resposta

(-\infty,-8]\cup(-4,-3)

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