Se
e
. Verifique se essas funções são injetoras;
Passo 1
O enunciado pede pra gente verificar se as funções dadas são injetoras, ou seja, se para cada par de pontos x₁ e x₂ distintos no domínio sempre teremos f(x₁) ≠ f(x₂). O conteúdo aqui é definição de função injetora e, no caso de funções reais, podemos usar a propriedade de monotonicidade ou a própria definição f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂.
Passo 2
Para f(x)=x+2, aplicamos a definição. Suponha f(x₁)=f(x₂). Então temos x₁+2 = x₂+2. Subtraindo 2 de ambos os lados, obtemos x₁ = x₂. Como a igualdade de imagens implica igualdade de argumentos, f é injetora. Além disso, é uma reta com coeficiente angular 1 (>0), logo estritamente crescente.
Passo 3
Para g(x)=x²−4, podemos encontrar contraexemplo ou usar definição. Note que g(2)=2²−4=0 e g(−2)= (−2)²−4=0, mas 2≠−2. Como existem x₁≠x₂ com g(x₁)=g(x₂), g não é injetora. Isso também reflete o fato de g ser par e não estritamente monotônica no ℝ.
Passo 4
Para h(x)=−2x+5, usamos o mesmo teste que em f. Suponha h(x₁)=h(x₂). Então −2x₁+5 = −2x₂+5. Subtraindo 5 e dividindo por −2, vem x₁ = x₂. Logo h é injetora. Também é reta de coeficiente angular −2 (≠0), estritamente decrescente.
Passo 5
Conclui-se que f e h são injetoras, enquanto g não é injetora.
Resposta
f e h são injetoras; g não é injetora.