Considere a função densidade f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=a b x^{b-1} e^{-a x^{b}}
em que a>0 e b>0 são constantes.
a): 1,25 Pontos Mostre que
\int_{0}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x=1
b): 1,25 Pontos Determine o valor de s tal que
\int_{0}^{s} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a função densidade
f(x)=a\,b\,x^{b-1}e^{-a x^{b}},\quad x>0,
com constantes a>0 e b>0.
a) Pede para mostrar que
\int_{0}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=1,
isto é, verificar que f é de fato uma densidade.
b) Pede para encontrar o ponto s>0 tal que a probabilidade acumulada até s seja 1/2:
\int_{0}^{s}f(x)\,\mathrm{d}x=\tfrac12.
Para isso, usaremos a substituição t=a x^{b} que transforma a exponencial de x^{b} numa integral-padrão de \exp(-t).

Passo 2

Calculemos primeiro
\int_{0}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{\infty}a\,b\,x^{b-1}e^{-a x^{b}}\,\mathrm{d}x.
Fazemos a substituição em bloco
t = a\,x^{b},
de modo que
\mathrm{d}t = a\,b\,x^{b-1}\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad a\,b\,x^{b-1}\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}t.
Quando x vai de 0 a \infty, t vai de 0 a \infty. Logo

Passo 3

\int_{0}^{\infty}a\,b\,x^{b-1}e^{-a x^{b}}\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,\mathrm{d}t =\bigl[-e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty} =0-(-1)=1.
Portanto \int_{0}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=1, como desejado.

Passo 4

Agora a função de distribuição acumulada até s é
\int_{0}^{s}f(x)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{s}a\,b\,x^{b-1}e^{-a x^{b}}\,\mathrm{d}x.
Fazemos de novo t=a x^{b}, obtendo
\int_{0}^{s}f(x)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{a s^{b}}e^{-t}\,\mathrm{d}t =1 - e^{-a s^{b}}.
Queremos que isso seja \tfrac12:

Passo 5

1 - e^{-a s^{b}} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad e^{-a s^{b}} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -a s^{b} = \ln\tfrac12 = -\ln 2
\Longrightarrow\quad s^{b} = \frac{\ln 2}{a} \quad\Longrightarrow\quad s = \Bigl(\frac{\ln 2}{a}\Bigr)^{\!1/b}.

Resposta

\displaystyle s = \bigl(\tfrac{\ln 2}{a}\bigr)^{1/b}.

Exercícios relacionados