Calcule o que se pede em cada item:
A segunda derivada \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\, para a curva definida implicitamente pela equação \(x^{2}+y^{2}=25.)

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada \dfrac{d^2y}{dx^2} da curva definida implicitamente por
x^2 + y^2 = 25.
O conteúdo utilizado será diferenciação implícita e derivadas sucessivas (produto, quociente e cadeia).

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^2 + y^2\bigr) = \frac{d}{dx}(25)
2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.

Passo 3

Para obter \dfrac{d^2y}{dx^2}, derivamos \dfrac{dy}{dx} = -x\,y^{-1} em relação a x. Usando a regra do produto e da cadeia:
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\bigl(-x\,y^{-1}\bigr) = -1\cdot y^{-1} + (-x)\cdot\bigl(-1\,y^{-2}\bigr)\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{y} + \frac{x}{y^2}\,\frac{dy}{dx}.
Substituindo \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}:
\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{y} - \frac{x^2}{y^3} = -\frac{x^2 + y^2}{y^3}.

Passo 4

Como da equação inicial temos x^2 + y^2 = 25, segue
\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{25}{y^3}.

Resposta

\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{25}{y^3}.

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