Considere a função densidade de probabilidade f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{8}(4-x), \text { se } 0 \leq x \leq 4 \\\\ 0, \text { se } x<0 \text { ou } x>4\end{array}\right.. Determine P(2<X<3).
a) 1 / 3
b) 3 / 4
c) 3 / 8
d) 3 / 16
e) 3 / 32
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine P(2<X<3)\) para a variável com densidade dada por
\[f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{8}(4-x), & \text{se } 0\le x\le 4,\\[6pt] 0, & \text{se } x<0 \text{ ou } x>4.\end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
A função densidade é f(x)=\dfrac{1}{8}(4-x)\] no intervalo \([0,4] e zero fora dele.
Queremos a probabilidade no intervalo aberto (2,3).
As alternativas possíveis são:
a) 1/3
b) 3/4
c) 3/8
d) 3/16
e) 3/32]
Passo 2
Conceito essencial (explicadinho): para uma variável contínua com densidade f(x), a probabilidade de ela cair num intervalo (a,b) é a área sob a curva f(x) entre a e b. Isso se escreve como
P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Observação importante: para variáveis contínuas não nos preocupamos se os extremos são abertos ou fechados — o valor é o mesmo porque pontos isolados têm probabilidade zero.
Passo 3
Aplicando o conceito ao nosso intervalo (2,3) — e lembrando que f(x)=0 fora de [0,4], então o integral é sobre a fórmula dada — temos
P(2<X<3)=\int_{2}^{3} \frac{1}{8}(4-x)\,dx.
Vou primeiro tirar a constante \dfrac{1}{8} para fora do integral para ficar mais limpo:
P(2<X<3)=\frac{1}{8}\int_{2}^{3} (4-x)\,dx.
Passo 4
Agora calculamos a primitiva (antiderivada) de 4-x. Lembrando as regras:
A primitiva de 4 em relação a x é 4x.
A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}.
Portanto uma primitiva de 4-x é 4x-\dfrac{x^{2}}{2}. Logo podemos avaliar o integral definido: