Considere a função densidade de probabilidade f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{8}(4-x), \text { se } 0 \leq x \leq 4 \\\\ 0, \text { se } x<0 \text { ou } x>4\end{array}\right.. Determine P(2<X<3).
a) 1 / 3
b) 3 / 4
c) 3 / 8
d) 3 / 16
e) 3 / 32

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine P(2<X<3)\) para a variável com densidade dada por \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{8}(4-x), & \text{se } 0\le x\le 4,\\[6pt] 0, & \text{se } x<0 \text{ ou } x>4.\end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. A função densidade é f(x)=\dfrac{1}{8}(4-x)\] no intervalo \([0,4] e zero fora dele.
  2. Queremos a probabilidade no intervalo aberto (2,3).
  3. As alternativas possíveis são:
    a) 1/3
    b) 3/4
    c) 3/8
    d) 3/16
    e) 3/32]

Passo 2

Conceito essencial (explicadinho): para uma variável contínua com densidade f(x), a probabilidade de ela cair num intervalo (a,b) é a área sob a curva f(x) entre a e b. Isso se escreve como
P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Observação importante: para variáveis contínuas não nos preocupamos se os extremos são abertos ou fechados — o valor é o mesmo porque pontos isolados têm probabilidade zero.

Passo 3

Aplicando o conceito ao nosso intervalo (2,3) — e lembrando que f(x)=0 fora de [0,4], então o integral é sobre a fórmula dada — temos
P(2<X<3)=\int_{2}^{3} \frac{1}{8}(4-x)\,dx.
Vou primeiro tirar a constante \dfrac{1}{8} para fora do integral para ficar mais limpo:
P(2<X<3)=\frac{1}{8}\int_{2}^{3} (4-x)\,dx.

Passo 4

Agora calculamos a primitiva (antiderivada) de 4-x. Lembrando as regras:
  • A primitiva de 4 em relação a x é 4x.
  • A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}.
Portanto uma primitiva de 4-x é 4x-\dfrac{x^{2}}{2}. Logo podemos avaliar o integral definido:
\int_{2}^{3} (4-x)\,dx = \left[4x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{2}^{3}.

Passo 5

Calculemos os valores nas extremidades:
\left(4x-\frac{x^{2}}{2}\right)\Bigg|_{x=3} = 4\cdot 3 - \frac{3^{2}}{2} = 12 - \frac{9}{2} = \frac{24-9}{2} = \frac{15}{2},
\left(4x-\frac{x^{2}}{2}\right)\Bigg|_{x=2} = 4\cdot 2 - \frac{2^{2}}{2} = 8 - \frac{4}{2} = 8 - 2 = 6.
A diferença é
\int_{2}^{3} (4-x)\,dx = \frac{15}{2} - 6 = \frac{15-12}{2} = \frac{3}{2}.

Passo 6

Voltando à constante que tiramos fora:
P(2<X<3)=\frac{1}{8}\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{16}.
Pra ficar mais seguro: podemos checar rapidamente que a densidade está normalizada, integrando de 0 a 4:
\int_{0}^{4}\frac{1}{8}(4-x)\,dx = \frac{1}{8}\left[4x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = \frac{1}{8}\left(16-\frac{16}{2}\right)=\frac{1}{8}\cdot 8 = 1,
ou seja, é uma densidade válida. E a probabilidade encontrada \dfrac{3}{16} está coerente.

Resposta

d) \dfrac{3}{16}

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