A função f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\left(2 x-x^{2}\right), \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, \text { se } x<0 \text { ou } x>1\end{array}\right. é uma função densidade de probabilidade.
a) Verdadeiro
b) Falso
é uma função densidade de probabilidade. Informação dada: a expressão explícita de f(x) em todo o domínio real, com suporte efetivo em [0,1]. A pergunta é somente: “Verdadeiro” ou “Falso”.]
Passo 2
O que é preciso verificar para que f seja uma função densidade de probabilidade? São duas condições:
f(x) deve ser não-negativa para todo x\in\mathbb{R}, isto é, f(x)\ge 0 para todo x.
A integral de f sobre toda a reta deve ser igual a 1, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Vou checar cada condição passo a passo.
Passo 3
Verificando a não-negatividade. Para x<0 ou x>1 temos f(x)=0, logo f(x)\ge 0 nessas regiões. Para 0\le x\le 1 escrevemos a função como
Aqui explique o que cada fator significa: para 0\le x\le 1 temos \,x\ge 0 e \,2-x\ge 1>0. Portanto o produto x(2-x)\ge 0 e multiplicando por \dfrac{3}{2}>0 segue que f(x)\ge 0 em todo [0,1]. Conclusão: f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.
Passo 4
Agora verifico a integral total. Como f(x)=0 fora de [0,1], basta integrar em [0,1]:
Concluímos que f(x) é não-negativa em todo \mathbb{R} e que \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1. Essas duas condições são exatamente as necessárias para f ser uma função densidade de probabilidade. Portanto a afirmação do enunciado é verdadeira. Força aí — essa verificação é padrão em prova: checar sinal e integrar.