A função f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{3}{2}\left(2 x-x^{2}\right), \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, \text { se } x<0 \text { ou } x>1\end{array}\right. é uma função densidade de probabilidade.
a) Verdadeiro
b) Falso

Passo 1

O enunciado pergunta se a função
f(x)=\begin{cases}\dfrac{3}{2}\bigl(2x-x^{2}\bigr), & \text{se } 0\le x\le 1,\\[6pt] 0, & \text{se } x<0 \text{ ou } x>1,\end{cases}
é uma função densidade de probabilidade. Informação dada: a expressão explícita de f(x) em todo o domínio real, com suporte efetivo em [0,1]. A pergunta é somente: “Verdadeiro” ou “Falso”.]

Passo 2

O que é preciso verificar para que f seja uma função densidade de probabilidade? São duas condições:
  1. f(x) deve ser não-negativa para todo x\in\mathbb{R}, isto é, f(x)\ge 0 para todo x.
  2. A integral de f sobre toda a reta deve ser igual a 1, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Vou checar cada condição passo a passo.

Passo 3

Verificando a não-negatividade. Para x<0 ou x>1 temos f(x)=0, logo f(x)\ge 0 nessas regiões. Para 0\le x\le 1 escrevemos a função como
f(x)=\dfrac{3}{2}\bigl(2x-x^{2}\bigr)=\dfrac{3}{2}\,x(2-x).
Aqui explique o que cada fator significa: para 0\le x\le 1 temos \,x\ge 0 e \,2-x\ge 1>0. Portanto o produto x(2-x)\ge 0 e multiplicando por \dfrac{3}{2}>0 segue que f(x)\ge 0 em todo [0,1]. Conclusão: f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Agora verifico a integral total. Como f(x)=0 fora de [0,1], basta integrar em [0,1]:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} \dfrac{3}{2}\bigl(2x-x^{2}\bigr)\,dx.
Posso tirar a constante \dfrac{3}{2} para fora da integral:
\int_{0}^{1} \dfrac{3}{2}\bigl(2x-x^{2}\bigr)\,dx = \dfrac{3}{2}\left(\int_{0}^{1} 2x\,dx - \int_{0}^{1} x^{2}\,dx\right).

Passo 5

Calculo as integrais básicas usando a regra de potência \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (válida para n\neq -1).
Primeiro,
\int_{0}^{1} 2x\,dx = 2\int_{0}^{1} x\,dx = 2\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 2\cdot \dfrac{1}{2} = 1.
Segundo,
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{3}.
Substituindo:
\dfrac{3}{2}\left(1 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{2}{3} = 1.

Passo 6

Concluímos que f(x) é não-negativa em todo \mathbb{R} e que \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1. Essas duas condições são exatamente as necessárias para f ser uma função densidade de probabilidade. Portanto a afirmação do enunciado é verdadeira. Força aí — essa verificação é padrão em prova: checar sinal e integrar.

Resposta

a) Verdadeiro

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