A função definida por f(x)=\left\{\begin{array}{c}2 x+3 \text {, se } 0 \leq x \leq 2 \\\\ 0 \text {, se } x<0 \text { ou } x>2\end{array}\right. é uma função densidade de probabilidade.
a) Verdadeiro
b) Falso
e pergunta se essa função é uma função densidade de probabilidade, oferecendo as opções:
a) Verdadeiro
b) Falso
Informações relevantes do enunciado:
A expressão de f(x) para 0\le x\le 2 é 2x+3.
Fora do intervalo [0,2], f(x)=0.
A pergunta é simplesmente verificar se essa f satisfaz as propriedades necessárias para ser uma densidade de probabilidade.]
Passo 2
O que é preciso verificar para decidir se f é uma densidade de probabilidade? Uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é densidade de probabilidade se satisfaz duas condições fundamentais:
Não-negatividade: \,f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.
Explicação: probabilidades não podem ser negativas; a função densidade aponta “quanto de probabilidade” há localmente, então não pode dar valor negativo.
Normalização: a integral da função sobre toda a reta deve ser igual a 1:\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.Explicação: a soma/total de todas as probabilidades deve ser 1, ou seja, a massa total distribuída pela densidade é 1.
Nós vamos checar essas duas condições passo a passo para a função dada.
Passo 3
Verificação da não-negatividade (f(x)\ge 0 para todo x):
Para x<0 ou x>2 temos f(x)=0, então f(x)\ge 0 nessas regiões.
Para 0\le x\le 2 temos f(x)=2x+3. Observação: 2x+3 é uma função linear crescente em x. No intervalo [0,2] o menor valor ocorre em x=0, que é2\cdot 0 + 3 = 3.Então, para todo x\in[0,2], 2x+3\ge 3>0. Logo f(x)\ge 0 em todo o domínio.
Conclusão deste passo: a condição de não-negatividade está satisfeita.
Passo 4
Verificação da normalização (\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1):
Como f(x)=0 fora de [0,2], a integral sobre (-\infty,\infty) reduz-se à integral sobre [0,2]:
Mas, pela condição de normalização, para que f fosse uma densidade de probabilidade essa integral teria que ser igual a 1. Aqui o total de massa é 10, que é diferente de 1.
Conclusão lógica: apesar de f ser não-negativa, ela não está normalizada; a massa total é 10, não 1. Portanto f NÃO é uma função densidade de probabilidade.
Observação extra (útil para a prova): para transformar f numa densidade, bastaria dividir por 10, ou seja, usar g(x)=\dfrac{1}{10}f(x). Então \int g=1.