A função definida por f(x)=\left\{\begin{array}{c}2 x+3 \text {, se } 0 \leq x \leq 2 \\\\ 0 \text {, se } x<0 \text { ou } x>2\end{array}\right. é uma função densidade de probabilidade.
a) Verdadeiro
b) Falso

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases}2x+3, & \text{se } 0\le x\le 2,\\[4pt] 0, & \text{se } x<0 \text{ ou } x>2,\end{cases}
e pergunta se essa função é uma função densidade de probabilidade, oferecendo as opções:
a) Verdadeiro
b) Falso
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão de f(x) para 0\le x\le 2 é 2x+3.
  • Fora do intervalo [0,2], f(x)=0.
  • A pergunta é simplesmente verificar se essa f satisfaz as propriedades necessárias para ser uma densidade de probabilidade.]

Passo 2

O que é preciso verificar para decidir se f é uma densidade de probabilidade? Uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é densidade de probabilidade se satisfaz duas condições fundamentais:
  1. Não-negatividade: \,f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.
    Explicação: probabilidades não podem ser negativas; a função densidade aponta “quanto de probabilidade” há localmente, então não pode dar valor negativo.
  2. Normalização: a integral da função sobre toda a reta deve ser igual a 1: \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.Explicação: a soma/total de todas as probabilidades deve ser 1, ou seja, a massa total distribuída pela densidade é 1.
Nós vamos checar essas duas condições passo a passo para a função dada.

Passo 3

Verificação da não-negatividade ( f(x)\ge 0 para todo x):
  • Para x<0 ou x>2 temos f(x)=0, então f(x)\ge 0 nessas regiões.
  • Para 0\le x\le 2 temos f(x)=2x+3. Observação: 2x+3 é uma função linear crescente em x. No intervalo [0,2] o menor valor ocorre em x=0, que é 2\cdot 0 + 3 = 3.Então, para todo x\in[0,2], 2x+3\ge 3>0. Logo f(x)\ge 0 em todo o domínio.
  • Conclusão deste passo: a condição de não-negatividade está satisfeita.

Passo 4

Verificação da normalização ( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1):
Como f(x)=0 fora de [0,2], a integral sobre (-\infty,\infty) reduz-se à integral sobre [0,2]:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} (2x+3)\,dx.
Agora calculamos essa integral passo a passo. Integral termo a termo:
  • A integral de 2x é x^{2}, porque \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • A integral de 3 é 3x, porque \frac{d}{dx}(3x)=3.
Portanto,
\int_{0}^{2} (2x+3)\,dx = \bigl[x^{2}+3x\bigr]_{0}^{2}.
Avaliaremos a primitiva nos extremos:
\bigl[x^{2}+3x\bigr]_{0}^{2} = \bigl(2^{2}+3\cdot 2\bigr) - \bigl(0^{2}+3\cdot 0\bigr) = (4+6)-0 = 10.

Passo 5

Interpretação do resultado da integral:
Obtivemos
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 10.
Mas, pela condição de normalização, para que f fosse uma densidade de probabilidade essa integral teria que ser igual a 1. Aqui o total de massa é 10, que é diferente de 1.
Conclusão lógica: apesar de f ser não-negativa, ela não está normalizada; a massa total é 10, não 1. Portanto f NÃO é uma função densidade de probabilidade.
Observação extra (útil para a prova): para transformar f numa densidade, bastaria dividir por 10, ou seja, usar g(x)=\dfrac{1}{10}f(x). Então \int g=1.

Resposta

b) Falso

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