Considere a função det : \mathbb{R}^{n^{2}} \longrightarrow \mathbb{R}, que associa a cada matriz n \times n, X=\left(x_{i j}\right), o seu determinante, \operatorname{det} X \in \mathbb{R}. A expansão de \operatorname{det} X segundo os elementos da i-ésima linha nos dá:
\operatorname{det} X=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j} x_{i j} X_{[i j]}
onde \left.X_{[ } i j\right] é o determinante da matriz (n-1) \times(n-1) que se obtém omitindo a i-ésima linha e a j-[esima coluna de X.
(a) Certifique-se de que
\frac{\partial d e t}{\partial x_{i j}}(X)=(-1)^{i+j} X_{[i j]}
(b) Verifique que no ponto X=I (matriz identidade n \times n ), temos:
\frac{\partial d e t}{\partial x_{i j}}(I)=\delta_{i j}
onde \delta representa o “delta de Kronecker”: \delta_{i j}=0 se i \neq j e $\delta_{i i}=1.

Passo 1

O enunciado define a função
\det:\mathbb{R}^{n^2}\longrightarrow\mathbb{R}
que a uma matriz X=(x_{ij}) associa o seu determinante. Pela expansão na i-ésima linha temos
\det X \;=\;\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\,x_{ij}\,X_{[ij]}
onde X_{[ij]} é o determinante do menor que se obtém omitindo a linha i e a coluna j.
Precisamos mostrar:
(a) \displaystyle\frac{\partial\det}{\partial x_{ij}}(X)=(-1)^{i+j}X_{[ij]}.
(b) No ponto X=I, obter \displaystyle\frac{\partial\det}{\partial x_{ij}}(I)=\delta_{ij}.

Passo 2

Como o determinante é multilinear em cada linha, na expansão acima ele aparece como soma de termos lineares em x_{ij}. Logo, se derivamos em relação a x_{ij}, todos os outros termos (com x_{ik}, k\neq j) são constantes e somam derivada zero, e o termo que sobra é exatamente o coeficiente de x_{ij}. Assim
\frac{\partial\det}{\partial x_{ij}}(X) =\frac{\partial}{\partial x_{ij}}\Bigl[\sum_{k=1}^n(-1)^{i+k}x_{ik}X_{[ik]}\Bigr] =(-1)^{i+j}X_{[ij]}\,.

Passo 3

Agora vamos avaliar esse resultado em X=I. Se X=I, então X_{[ij]} é o determinante do menor que sobra ao tirar a linha i e a coluna j da identidade.
  • Se i=j, esse menor é a matriz identidade de ordem n-1, cujo determinante vale 1.
  • Se i\neq j, o menor terá uma linha toda nula (pois na linha j original havia um único 1 na coluna j, que foi removida), e seu determinante vale 0.

Passo 4

Com isso, em X=I\) temos \[\frac{\partial\det}{\partial x_{ij}}(I) =(-1)^{i+j}X_{[ij]}\Bigl|_{X=I} =\begin{cases} 1,&i=j,\\\\ 0,&i\neq j, \end{cases}
ou seja, (\delta_{ij}].

Resposta

(a) \displaystyle\frac{\partial\det}{\partial x_{ij}}(X)=(-1)^{i+j}X_{[ij]}.
(b) \displaystyle\frac{\partial\det}{\partial x_{ij}}(I)=\delta_{ij}.

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