Considere a função det :
, que associa a cada matriz
, o seu determinante,
. A expansão de
segundo os elementos da i-ésima linha nos dá:
onde
é o determinante da matriz
que se obtém omitindo a
-ésima linha e a
-[esima coluna de
.
(a) Certifique-se de que
(b) Verifique que no ponto
(matriz identidade
), temos:
onde
representa o “delta de Kronecker”:
se
e $\delta_{i i}=1.
(a) Certifique-se de que
Passo 1
O enunciado define a função
que a uma matriz
associa o seu determinante. Pela expansão na
-ésima linha temos
onde
é o determinante do menor que se obtém omitindo a linha
e a coluna
.
Precisamos mostrar:
(a) .
(b) No ponto , obter
.
Precisamos mostrar:
(a)
(b) No ponto
Passo 2
Como o determinante é multilinear em cada linha, na expansão acima ele aparece como soma de termos lineares em
. Logo, se derivamos em relação a
, todos os outros termos (com
,
) são constantes e somam derivada zero, e o termo que sobra é exatamente o coeficiente de
. Assim
Passo 3
Agora vamos avaliar esse resultado em
. Se
, então
é o determinante do menor que sobra ao tirar a linha
e a coluna
da identidade.
- Se
, esse menor é a matriz identidade de ordem , cujo determinante vale . - Se
, o menor terá uma linha toda nula (pois na linha original havia um único 1 na coluna , que foi removida), e seu determinante vale .
Passo 4
Com isso, em
ou seja, (\delta_{ij}].
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)