Considere a função f: \mathbb{R}^{m+n}=\mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}, definida pela regra:
f(x, y)=\|x\|^{2}-\|y\|^{2}, x \in \mathbb{R}^{m}, y \in \mathbb{R}^{n}
Determine o vetor gradiente de f no ponto P=(x, y) \in \mathbb{R}^{m+n}.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}^{m+n} = \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \quad f(x,y) = \|x\|^2 - \|y\|^2
e pede o vetor gradiente de f no ponto P=(x,y). Para isso, lembramos que o gradiente de uma função de várias variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em cada componente:
\nabla f(x,y) = \bigl(\nabla_x f(x,y),\,\nabla_y f(x,y)\bigr).

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais em relação a x=(x_1,\dots,x_m). Como
\|x\|^2 = \sum_{i=1}^m x_i^2,
temos para cada i\in\{1,\dots,m\}:
\frac{\partial}{\partial x_i}\bigl(\|x\|^2\bigr) = 2x_i, \quad \frac{\partial}{\partial x_i}\bigl(-\|y\|^2\bigr) = 0.
Logo,
\nabla_x f(x,y) = (2x_1,2x_2,\dots,2x_m) = 2x.

Passo 3

Agora as derivadas parciais em relação a y=(y_1,\dots,y_n). Como
-\|y\|^2 = -\sum_{j=1}^n y_j^2,
temos para cada j\in\{1,\dots,n\}:
\frac{\partial}{\partial y_j}\bigl(-\|y\|^2\bigr) = -2y_j, \quad \frac{\partial}{\partial y_j}\bigl(\|x\|^2\bigr) = 0.
Logo,
\nabla_y f(x,y) = (-2y_1,-2y_2,\dots,-2y_n) = -2y.

Passo 4

Juntando as componentes em x e em y, o gradiente completo em \mathbb{R}^{m+n} é
\nabla f(x,y) = \bigl(\nabla_x f(x,y),\,\nabla_y f(x,y)\bigr) = (2x,\,-2y).

Resposta

\nabla f(x,y) = (2x,\,-2y).

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