Considere a função h(x, y)=-raizx^2+y^2.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de h no ponto (-2,0, h(-2,0)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função h(x, y) = -raizx^2 + y^2 no ponto específico (-2, 0, h(-2, 0)).
Conteúdo envolvido:
  • Derivadas parciais
  • Plano tangente a uma superfície
  • Cálculo de limites e funções multivariáveis
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de h em relação a x e y , e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de h(-2, 0) :
h(-2, 0) = -raiz(-2)^2 + 0^2 = -raiz4 = -2
Então, o ponto de tangência é (-2, 0, -2).

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de h em relação a x e y .
Primeiro, derivada parcial em relação a x :
partial hpartial x = ddx ( -raizx^2 + y^2 ) = -xraizx^2 + y^2
No ponto (-2, 0):
partial hpartial x |(-2,0) = --2raiz(-2)^2 + 0^2 = --22 = 1

Passo 4

Agora, derivada parcial em relação a y :
partial hpartial y = ddy ( -raizx^2 + y^2 ) = -yraizx^2 + y^2
No ponto (-2, 0):
partial hpartial y |(-2,0) = -0raiz(-2)^2 + 0^2 = 0

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
z = h(a, b) + partial hpartial x|(a,b) (x - a) + partial hpartial y|(a,b) (y - b)
Onde (a, b) = (-2, 0) e h(a, b) = -2 .
Substituindo os valores:
z = -2 + 1 cdot (x - (-2)) + 0 cdot (y - 0)
Simplificando:
z = -2 + (x + 2)
z = x

Resposta

A equação do plano tangente é z = x .

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