Considere a função
.
Determine a linearização e a aproximação linear de
no ponto
.
Use a aproximação linear encontrada para determinar uma aproximação para
.
Determine a linearização e a aproximação linear de
Use a aproximação linear encontrada para determinar uma aproximação para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa fazer a linearização dessa função no ponto
. Basicamente, a linearização nos ajuda a aproximar o valor da função perto desse ponto usando uma reta (ou plano, no caso de duas variáveis). Para resolver isso, a gente vai precisar calcular os derivados parciais da função em relação a
e
, além de aplicar a fórmula da aproximação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função
no ponto
. Isso é simples:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os derivados parciais de
em relação a
e
. Esses derivados são essenciais para a linearização, pois eles nos dizem como a função muda nas direções de
e
.
- Derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
- Derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Então, temos
e
.
Passo 4
Com os valores da função e seus derivados parciais no ponto
, podemos montar a linearização
da função
. A fórmula da linearização é:
Aqui,
e
. Substituindo os valores que já encontramos:
Então, a linearização é simplesmente:
Passo 5
Agora que temos a linearização, vamos usá-la para aproximar o valor de
. Substituímos os valores de
e
na linearização:
Resposta
A aproximação para
é
.