Considere a função h(x, y)=-raizx^2+y^2.
Determine a linearização e a aproximação linear de h no ponto (-2,0).
Use a aproximação linear encontrada para determinar uma aproximação para h(-2,01 ; 0,01).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função h(x, y) = -raizx^2 + y^2 e precisa fazer a linearização dessa função no ponto (-2, 0). Basicamente, a linearização nos ajuda a aproximar o valor da função perto desse ponto usando uma reta (ou plano, no caso de duas variáveis). Para resolver isso, a gente vai precisar calcular os derivados parciais da função em relação a x e y, além de aplicar a fórmula da aproximação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função h no ponto (-2, 0). Isso é simples:
h(-2, 0) = -raiz(-2)^2 + 0^2 = -raiz4 = -2
Então, h(-2, 0) = -2 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os derivados parciais de h em relação a x e y. Esses derivados são essenciais para a linearização, pois eles nos dizem como a função muda nas direções de x e y.
  • Derivada parcial em relação a x:
hx(x, y) = partialpartial x ( -raizx^2 + y^2 ) = -xraizx^2 + y^2
No ponto (-2, 0):
hx(-2, 0) = --2raiz(-2)^2 + 0^2 = 22 = 1
  • Derivada parcial em relação a y:
hy(x, y) = partialpartial y ( -raizx^2 + y^2 ) = -yraizx^2 + y^2
No ponto (-2, 0):
hy(-2, 0) = -0raiz(-2)^2 + 0^2 = 0
Então, temos hx(-2, 0) = 1 e hy(-2, 0) = 0 .

Passo 4

Com os valores da função e seus derivados parciais no ponto (-2, 0), podemos montar a linearização L(x, y) da função h . A fórmula da linearização é:
L(x, y) = h(a, b) + hx(a, b)(x - a) + hy(a, b)(y - b)
Aqui, a = -2 e b = 0 . Substituindo os valores que já encontramos:
L(x, y) = -2 + 1 cdot (x - (-2)) + 0 cdot (y - 0) = -2 + (x + 2) = x
Então, a linearização é simplesmente:
L(x, y) = x

Passo 5

Agora que temos a linearização, vamos usá-la para aproximar o valor de h(-2,01, 0,01) . Substituímos os valores de x e y na linearização:
L(-2,01, 0,01) = -2,01

Resposta

A aproximação para h(-2,01 ; 0,01) é -2,01.

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