Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y)=x^2+2 y^2 no ponto (1, -1, 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = x^2 + 2y^2 no ponto (1, -1, 3). Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais e planos tangentes, para chegar na resposta. Precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y no ponto dado e, com isso, construir a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto (1, -1, 3) está realmente no gráfico da função f(x, y) . Para isso, substituímos x = 1 e y = -1 na função:
f(1, -1) = (1)^2 + 2(-1)^2 = 1 + 2 times 1 = 3
Como f(1, -1) = 3 , o ponto (1, -1, 3) está no gráfico da função, então podemos prosseguir.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y . As derivadas parciais nos dão a inclinação da função em relação a cada uma das variáveis.
A derivada parcial de f em relação a x é:
fx(x, y) = partialpartial x(x^2 + 2y^2) = 2x
E a derivada parcial de f em relação a y é:
fy(x, y) = partialpartial y(x^2 + 2y^2) = 4y

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (1, -1):
fx(1, -1) = 2 times 1 = 2
fy(1, -1) = 4 times (-1) = -4

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente a z = f(x, y) no ponto (a, b, f(a, b)) é:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo os valores que temos:
z = 3 + 2(x - 1) - 4(y + 1)
Simplificando a expressão:
z = 3 + 2x - 2 - 4y - 4
z = 2x - 4y - 3

Resposta

A equação do plano tangente é z = 2x - 4y - 3 .

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