Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto (1, -1, 3).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto (1, -1, 3). Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais e planos tangentes, para chegar na resposta. Precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto dado e, com isso, construir a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o ponto (1, -1, 3) está realmente no gráfico da função
. Para isso, substituímos
e
na função:
Como
, o ponto (1, -1, 3) está no gráfico da função, então podemos prosseguir.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. As derivadas parciais nos dão a inclinação da função em relação a cada uma das variáveis.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (1, -1):
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente a
no ponto
é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando a expressão:
Resposta
A equação do plano tangente é
.