Considere a função
.
Mostre que
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis:
. O objetivo aqui é mostrar que essa função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e usar alguns conceitos de cálculo diferencial para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Basicamente, uma função de várias variáveis é diferenciável num ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Para isso, as derivadas parciais precisam existir e serem contínuas por perto desse ponto.
Passo 3
Então, o que vamos fazer é:
- Calcular as derivadas parciais de
em relação a e a . - Verificar se essas derivadas existem em todos os pontos do domínio.
- Confirmar se essas derivadas são contínuas em todo o domínio.
Se tudo isso estiver ok, podemos concluir que
é diferenciável em todos os pontos.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, observamos que as derivadas parciais
e
existem para todos os valores de
e
, ou seja, em todo o domínio da função. Além disso, essas derivadas são funções lineares e, portanto, contínuas em todo o plano
.
Resposta
Concluímos que a função
é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, já que suas derivadas parciais existem e são contínuas em todo o espaço.