Considere a função f(x, y)=2+x^2+y^2.
Mostre que f é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis: f(x, y) = 2 + x^2 + y^2 . O objetivo aqui é mostrar que essa função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e usar alguns conceitos de cálculo diferencial para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Basicamente, uma função de várias variáveis é diferenciável num ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Para isso, as derivadas parciais precisam existir e serem contínuas por perto desse ponto.

Passo 3

Então, o que vamos fazer é:
  1. Calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y .
  2. Verificar se essas derivadas existem em todos os pontos do domínio.
  3. Confirmar se essas derivadas são contínuas em todo o domínio.
Se tudo isso estiver ok, podemos concluir que f é diferenciável em todos os pontos.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
A derivada parcial de f em relação a x é:
partial fpartial x = partialpartial x (2 + x^2 + y^2) = 2x
E a derivada parcial de f em relação a y é:
partial fpartial y = partialpartial y (2 + x^2 + y^2) = 2y

Passo 5

Agora, observamos que as derivadas parciais 2x e 2y existem para todos os valores de x e y , ou seja, em todo o domínio da função. Além disso, essas derivadas são funções lineares e, portanto, contínuas em todo o plano (x, y) .

Resposta

Concluímos que a função f(x, y) = 2 + x^2 + y^2 é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, já que suas derivadas parciais existem e são contínuas em todo o espaço.

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