Considere a função f(x, y)=x^2 y^2+3 x-y.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( -1,5, f(-1,5) ).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico de f(x,y)=x^2y^2+3x-y no ponto (x0,y0)=(-1,5). Para isso precisamos de (i) z0=f(x0,y0) e (ii) das derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y avaliadas em (x0,y0).

Passo 2

Calcular z0=f(-1,5):
f(-1,5)=(-1)^2cdot5^2+3cdot(-1)-5=25-3-5=17
Logo o ponto de tangência é (-1,5,17).

Passo 3

Determinar as derivadas parciais e avaliá-las em (-1,5):
partial fpartial x(x,y)=2x,y^2+3, partial fpartial y(x,y)=2y,x^2-1
Em (x,y)=(-1,5):
partial fpartial x(-1,5)=-47, partial fpartial y(-1,5)=9

Passo 4

A equação do plano tangente em (-1,5,17) é dada por
z-17=-47,(x+1)+9,(y-5)
Ao simplificar,
z=-47x+9y-75

Resposta

z=-47x+9y-75

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