Considere a função
.
Mostre que
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que ela é diferenciável em todos os pontos do domínio. O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e vamos usar o critério: se as derivadas parciais existem e são contínuas num vizinho de um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Tratando
como constante,
Tratando
como constante,
Passo 3
Note que
são polinômios em
. Polinômios são funções contínuas em todo
.
Passo 4
Pelo teorema que diz que se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas num aberto que contém um ponto, então essa função é diferenciável nesse ponto, concluímos que
é diferenciável em todo
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos do seu domínio
.