Considere a função f(x, y)=x^2 y^2+3 x-y.
Mostre que f é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x^2y^2+3x-y
e pede para mostrar que ela é diferenciável em todos os pontos do domínio. O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e vamos usar o critério: se as derivadas parciais existem e são contínuas num vizinho de um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Tratando y como constante,
partial fpartial x(x,y) =partialpartial xl(x^2y^2+3x-yr) =2x,y^2+3
Tratando x como constante,
partial fpartial y(x,y) =partialpartial yl(x^2y^2+3x-yr) =2y,x^2-1

Passo 3

Note que
partial fpartial x(x,y)=2x,y^2+3 e partial fpartial y(x,y)=2x^2y-1
são polinômios em (x,y). Polinômios são funções contínuas em todo R^2.

Passo 4

Pelo teorema que diz que se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas num aberto que contém um ponto, então essa função é diferenciável nesse ponto, concluímos que f é diferenciável em todo R^2.

Resposta

A função f(x,y)=x^2y^2+3x-y é diferenciável em todos os pontos do seu domínio R^2.

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