Considere a função f(x, y)=x^2 y^2+3 x-y.
Determine a linearização e a aproximação linear de f no ponto (-1,5).
Use a aproximação linear encontrada para determinar uma aproximação para f(-1,01 ; 5,01).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a linearização de f(x,y)=x^2y^2+3x-y no ponto (a,b)=(-1,5) e, em seguida, usar essa aproximação linear para estimar f(-1,01,5,01). O conteúdo é diferenciais parciais e aproximação linear (ou plano tangente) em várias variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial xl(x^2y^2+3x-yr) =2xy^2+3,
fy(x,y)=partialpartial yl(x^2y^2+3x-yr) =2x^2y-1

Passo 3

Avaliamo-las no ponto (a,b)=(-1,5) e também f(a,b):
f(-1,5)=(-1)^2cdot5^2+3cdot(-1)-5=25-3-5=17,
fx(-1,5)=2cdot(-1)cdot5^2+3=-50+3=-47,
fy(-1,5)=2cdot(-1)^2cdot5-1=10-1=9

Passo 4

A linearização (ou aproximação linear) de f em (a,b) é
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b),(x-a)+fy(a,b),(y-b)
Substituindo os valores:
L(x,y)=17+(-47),(x+1)+9,(y-5)

Passo 5

Para aproximar f(-1,01,5,01), note que De<a x=-0,01 e De<a y=+0,01. Logo,
L(-1,01,5,01)=17+(-47),(-0,01)+9,(0,01) =17+0,47+0,09=17,56

Resposta

A linearização em (-1,5) é
L(x,y)=17-47,(x+1)+9,(y-5),
e a aproximação obtida é
f(-1,01,5,01)approx17,56

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