Considere a função g(x, y)=x sen(x+y).
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (pi2, pi2, g(pi2, pi2) ).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico da função
g(x,y)=xsin(x+y)
no ponto
l(x0,y0,z0r)=l(tfracpi2,tfracpi2,g(tfracpi2,tfracpi2)r).
Para isso usamos o fato de que, para uma superfície z=g(x,y), a aproximação linear em torno de (x0,y0) é dada por
z - z0 = gx(x0,y0),(x-x0) + gy(x0,y0),(y-y0),
onde gx e gy são as derivadas parciais de g.

Passo 2

Calcular z0=gl(tfracpi2,tfracpi2r). Temos
gl(tfracpi2,tfracpi2r) = tfracpi2;sin!l(tfracpi2+tfracpi2r) = tfracpi2;sin(pi) = tfracpi2cdot0 = 0
Logo z0=0.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de g e avaliá-las em l(tfracpi2,tfracpi2r).
gx(x,y) =partialpartial xl[xsin(x+y)r] =sin(x+y)+xcos(x+y),
gy(x,y) =partialpartial yl[xsin(x+y)r] =xcos(x+y)
Em l(tfracpi2,tfracpi2r) temos x+y=pi e cospi=-1, então
gxl(tfracpi2,tfracpi2r) =sin(pi)+tfracpi2cos(pi) =0 + tfracpi2cdot(-1) =-tfracpi2,
gyl(tfracpi2,tfracpi2r) =tfracpi2cos(pi) =-tfracpi2

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z - 0 = -tfracpi2l(x-tfracpi2r) -tfracpi2l(y-tfracpi2r)
Expandindo e reunindo termos,
z = -tfracpi2,x + tfracpi^24 -tfracpi2,y + tfracpi^24 = -tfracpi2,(x+y) + tfracpi^22

Resposta

z = -pi2,(x+y) + pi^22

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