Considere a função g(x, y)=x sen(x+y).
Mostre que g é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.

Passo 1

O enunciado define a função
gcolonR^2toR, g(x,y)=xsin(x+y)
e pede para mostrar que g é diferenciável em todo o seu domínio. O conceito-chave é que, em R^n, se todas as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas, então a função é diferenciável (é classe C^1).

Passo 2

Observe que podemos ver g como produto de duas funções já conhecidas:
u(x,y)=x, v(x,y)=sin(x+y)
A função u é linear (logo diferenciável) e v é composição de
w(x,y)=x+yephi(t)=sin t,
ambas diferenciáveis. Pelo teorema da cadeia, v(x,y)=phi(w(x,y)) é diferenciável. Finalmente, o produto de funções diferenciáveis é diferenciável; logo g=ucdot v é diferenciável em todo R^2.

Passo 3

Para obter a fórmula do diferencial, calculamos as derivadas parciais
partial gpartial x =partialpartial xl[xsin(x+y)r] =sin(x+y)+xcos(x+y)cdot1 =sin(x+y)+xcos(x+y),
partial gpartial y =partialpartial yl[xsin(x+y)r] =xcos(x+y)cdot1 =xcos(x+y)

Passo 4

As expressões
sin(x+y), cos(x+y) e x são funções contínuas em R^2. Como soma e produto de funções contínuas são contínuos, concluímos que
partial gpartial x e partial gpartial y
são contínuas em todo R^2.

Passo 5

Pelo critério de diferenciabilidade em várias variáveis, existência e continuidade das derivadas parciais implicam que g é diferenciável em qualquer ponto (x,y)inR^2.

Resposta

A função g(x,y)=xsin(x+y) é diferenciável em todo o seu domínio R^2.

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