Considere a função
.
Mostre que
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que
é diferenciável em todo o seu domínio. O conceito-chave é que, em
, se todas as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas, então a função é diferenciável (é classe
).
Passo 2
Observe que podemos ver
como produto de duas funções já conhecidas:
A função
é linear (logo diferenciável) e
é composição de
ambas diferenciáveis. Pelo teorema da cadeia,
é diferenciável. Finalmente, o produto de funções diferenciáveis é diferenciável; logo
é diferenciável em todo
.
Passo 3
Para obter a fórmula do diferencial, calculamos as derivadas parciais
Passo 4
As expressões
,
e
são funções contínuas em
. Como soma e produto de funções contínuas são contínuos, concluímos que
são contínuas em todo
.
Passo 5
Pelo critério de diferenciabilidade em várias variáveis, existência e continuidade das derivadas parciais implicam que
é diferenciável em qualquer ponto
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o seu domínio
.