Considere a função f(x, y)=3 y+x^2 e^2 y.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (-2,0, f(-2,0)).

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y) = 3y + x^2 e^2y
e pede a equação do plano tangente ao gráfico de z = f(x,y) no ponto l(-2,0,f(-2,0)r). Para isso vamos precisar de derivadas parciais e da fórmula do plano tangente:
z = f(a,b) + fx(a,b),(x-a) + fy(a,b),(y-b)

Passo 2

Calculamos o valor de f no ponto (a,b)=(-2,0):
f(-2,0) = 3cdot0 + (-2)^2 e^2cdot0 = 4cdot1 = 4

Passo 3

Determinamos as derivadas parciais gerais:
fx(x,y) = partialpartial xl(3y + x^2 e^2yr) = 2x,e^2y,
fy(x,y) = partialpartial yl(3y + x^2 e^2yr) = 3 + x^2cdot 2e^2y = 3 + 2x^2 e^2y

Passo 4

Avaliando em (x,y)=(-2,0) (onde e^2cdot0=1):
fx(-2,0) = 2cdot(-2)cdot1 = -4, fy(-2,0) = 3 + 2cdot(-2)^2cdot1 = 3 + 8 = 11

Passo 5

Agora montamos a equação do plano tangente em (a,b,z0)=(-2,0,4):
z = 4 + (-4),(x-(-2)) + 11,(y-0)
Simplificando:
z = 4 -4(x+2) + 11y = 4 -4x -8 +11y = -4x +11y -4

Resposta

A equação do plano tangente é
boxedz = -4x + 11y - 4

Exercícios relacionados