Considere a função f(x, y)=3 y+x^2 e^2 y.
Mostre que f é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=3y + x^2 e^2y
definida para todo (x,y)inR^2, e pede para mostrar que f é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.
O conteúdo envolvido é cálculo em várias variáveis: um critério clássico diz que, se f possui derivadas parciais que existem e são contínuas num conjunto aberto, então f é diferenciável nesse conjunto.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f.
Para partial f/partial x, tratamos y como constante:
partial fpartial x(x,y) = partialpartial xl(3y + x^2 e^2yr) = 2x,e^2y
Para partial f/partial y, tratamos x como constante:
partial fpartial y(x,y) = partialpartial yl(3y + x^2 e^2yr) = 3 + x^2cdotpartialpartial yl(e^2yr) = 3 + x^2cdot2e^2y = 3 + 2x^2 e^2y

Passo 3

Observamos que 2x,e^2y e 3 + 2x^2 e^2y são compostas de funções polinomiais e da exponencial, todas contínuas em R^2. Logo
(x,y)mapsto partial fpartial x(x,y) e (x,y)mapsto partial fpartial y(x,y)
são contínuas em todo R^2.

Passo 4

Pelo teorema de C ^1, que afirma que se uma função de R^2 em R tem derivadas parciais contínuas num conjunto aberto então ela é diferenciável nesse conjunto, concluímos que f é diferenciável em todo o seu domínio R^2.

Resposta

A função f(x,y)=3y + x^2 e^2y é diferenciável em todos os pontos de R^2.

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