Considere a função
.
Mostre que
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.
Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida para todo
, e pede para mostrar que
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.
O conteúdo envolvido é cálculo em várias variáveis: um critério clássico diz que, se possui derivadas parciais que existem e são contínuas num conjunto aberto, então
é diferenciável nesse conjunto.
O conteúdo envolvido é cálculo em várias variáveis: um critério clássico diz que, se
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Para , tratamos
como constante:
Para
Para
, tratamos
como constante:
Passo 3
Observamos que
e
são compostas de funções polinomiais e da exponencial, todas contínuas em
. Logo
são contínuas em todo
.
Passo 4
Pelo teorema de C
, que afirma que se uma função de
em
tem derivadas parciais contínuas num conjunto aberto então ela é diferenciável nesse conjunto, concluímos que
é diferenciável em todo o seu domínio
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos de
.