Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função f(x, y) definida de duas maneiras diferentes: uma quando (x, y) não é (0,0) e outra quando é exatamente (0,0) . A questão pede para a gente mostrar que essa função é contínua nesse ponto (0,0) . Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f(x, y) é contínua em (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) for igual a f(a, b) . Ou seja, precisamos mostrar que:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) = 0
Passo 3
Vamos analisar o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) . A função para (x, y) neq (0,0) é:
f(x, y) = sin(x^4 + y^4)x^2 + y^2
O que queremos é descobrir o valor desse limite quando (x, y) chega perto de (0,0) .
Passo 4
Uma estratégia comum para limites de funções de várias variáveis é usar desigualdades para “controlar” a expressão. Sabemos que para qualquer real t :
|sin t| <= |t|
Então, podemos usar isso para estimar o numerador da nossa função.