Considere a função:
f(x, y)= sin (x^4+y^4)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Mostre que f é contínua em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função f(x, y) definida de duas maneiras diferentes: uma quando (x, y) não é (0,0) e outra quando é exatamente (0,0) . A questão pede para a gente mostrar que essa função é contínua nesse ponto (0,0) . Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f(x, y) é contínua em (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) for igual a f(a, b) . Ou seja, precisamos mostrar que:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) = 0

Passo 3

Vamos analisar o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) . A função para (x, y) neq (0,0) é:
f(x, y) = sin(x^4 + y^4)x^2 + y^2
O que queremos é descobrir o valor desse limite quando (x, y) chega perto de (0,0) .

Passo 4

Uma estratégia comum para limites de funções de várias variáveis é usar desigualdades para “controlar” a expressão. Sabemos que para qualquer real t :
|sin t| <= |t|
Então, podemos usar isso para estimar o numerador da nossa função.

Passo 5

Aplicando a desigualdade, temos:
|sin(x^4 + y^4)| <= |x^4 + y^4|
Isso nos dá:
|f(x, y)| = |sin(x^4 + y^4)x^2 + y^2| <= |x^4 + y^4|x^2 + y^2

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão do lado direito. Podemos separar a fração:
x^4 + y^4x^2 + y^2 = x^4x^2 + y^2 + y^4x^2 + y^2
Note que:
x^4x^2 + y^2 = x^2 cdot x^2x^2 + y^2 <= x^2
E de forma semelhante:
y^4x^2 + y^2 = y^2 cdot y^2x^2 + y^2 <= y^2

Passo 7

Assim, temos:
x^4 + y^4x^2 + y^2 <= x^2 + y^2
Portanto, voltando à nossa estimativa original:
|f(x, y)| <= x^2 + y^2

Passo 8

Agora, sabemos que quando (x, y) se aproxima de (0,0) , x^2 + y^2 também se aproxima de 0. Ou seja:
lim(x, y) to (0,0) (x^2 + y^2) = 0
E como |f(x, y)| <= x^2 + y^2 , pelo teorema do sanduíche (ou teorema da comparação), concluímos que:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0

Resposta

Portanto, como o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a f(0,0) = 0 , a função f é contínua em (0,0) .

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