Considere a função
.
Mostre que
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em todo
. Queremos mostrar que
é diferenciável em cada ponto de seu domínio. Para isso, usaremos o critério: se as derivadas parciais de
existem e são contínuas em
, então
é diferenciável em todo
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra do produto sobre
.
Chamando e
, temos:
Chamando
Colocando em evidência
:
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial de
em relação a
. De novo,
Fatorando
:
Passo 4
Observe que
são combinações de funções polinomiais e da exponencial, todas contínuas em
. Logo ambas as derivadas parciais são contínuas em todo o domínio.
Passo 5
Pelo teorema que garante que se as derivadas parciais existem e são contínuas num ponto (ou região), então a função é diferenciável nesse ponto (ou região), concluímos que
é diferenciável em todo
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, isto é, em todo
.