Considere a função g(x, y)=x y e^x^2-4 y^2.
Mostre que g é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y) = x,y,e^x^2-4y^2
definida em todo R^2. Queremos mostrar que g é diferenciável em cada ponto de seu domínio. Para isso, usaremos o critério: se as derivadas parciais de g existem e são contínuas em R^2, então g é diferenciável em todo R^2.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de g em relação a x. Usamos a regra do produto sobre
;g(x,y) = (x,y)cdot e^x^2-4y^2.
Chamando h(x,y)=x,y e phi(x,y)=x^2-4y^2, temos:
partial gpartial x = partial hpartial x,e^phi + h,partialpartial xl(e^phir) = y,e^x^2-4y^2 + x,ycdot e^x^2-4y^2cdot 2x
Colocando em evidência y,e^x^2-4y^2:
partial gpartial x = y,e^x^2-4y^2l(1+2x^2r)

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de g em relação a y. De novo,
partial gpartial y = partial hpartial y,e^phi + h,partialpartial yl(e^phir) = x,e^x^2-4y^2 + x,ycdot e^x^2-4y^2cdot(-8y)
Fatorando x,e^x^2-4y^2:
partial gpartial y = x,e^x^2-4y^2l(1-8y^2r)

Passo 4

Observe que
partial gpartial x = y,e^x^2-4y^2l(1+2x^2r), partial gpartial y = x,e^x^2-4y^2l(1-8y^2r)
são combinações de funções polinomiais e da exponencial, todas contínuas em R^2. Logo ambas as derivadas parciais são contínuas em todo o domínio.

Passo 5

Pelo teorema que garante que se as derivadas parciais existem e são contínuas num ponto (ou região), então a função é diferenciável nesse ponto (ou região), concluímos que g é diferenciável em todo R^2.

Resposta

A função g(x,y)=x,y,e^x^2-4y^2 é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, isto é, em todo R^2.

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