Considere a função .
Determine se
é contínua em ( 0,0 ).
Determine se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) $ que é definida de duas formas: uma para todos os pontos diferentes de
e outra especificamente para
. A questão quer saber se essa função é contínua nesse ponto
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite em cálculo, que ajuda a entender o comportamento da função perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em
. A função $ f(x, y) $ é contínua nesse ponto se o limite dela conforme
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, que é $ f(0,0) = 0 $. Ou seja, precisamos calcular:
Passo 3
Vamos calcular esse limite. Uma maneira prática de verificar se o limite existe e qual é ele é testar diferentes caminhos pelos quais
se aproxima de
. Se os limites nos diferentes caminhos forem iguais, o limite geral existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.
Passo 4
Vamos primeiro considerar o caminho onde $ y = 0 $. Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de
ao longo do eixo
, o limite é 1.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caminho onde $ x = 0 $. Substituindo na função:
À medida que $ y $ se aproxima de 0, $ -y $ também se aproxima de 0. Então, pelo caminho do eixo
, o limite é 0.
Passo 6
Observamos que pelos caminhos diferentes, os limites são diferentes: pelo eixo
dá 1 e pelo eixo
dá 0. Isso indica que o limite geral não existe, pois não é o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar em
.
Passo 7
Já que o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
não existe (ou seja, não é igual a 0), podemos concluir que a função não é contínua nesse ponto.
Resposta
A função $ f(x, y) $ não é contínua em
.