Considere a função .
Determine se f(x, y)=lx^2-y^2x^2+y, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0) é contínua em ( 0,0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) $ que é definida de duas formas: uma para todos os pontos diferentes de f(x, y) e outra especificamente para (0,0). A questão quer saber se essa função é contínua nesse ponto (0,0). Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite em cálculo, que ajuda a entender o comportamento da função perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em (0,0). A função $ f(x, y) $ é contínua nesse ponto se o limite dela conforme f(x, y) se aproxima de (x, y) for igual ao valor da função nesse ponto, que é $ f(0,0) = 0 $. Ou seja, precisamos calcular:
(0,0)

Passo 3

Vamos calcular esse limite. Uma maneira prática de verificar se o limite existe e qual é ele é testar diferentes caminhos pelos quais (x, y) se aproxima de (0,0). Se os limites nos diferentes caminhos forem iguais, o limite geral existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 4

Vamos primeiro considerar o caminho onde $ y = 0 $. Substituindo na função:
y = 0
Então, ao se aproximar de f(x, 0) = x^2 - 0^2x^2 + 0 = x^2x^2 = 1 ao longo do eixo (0,0), o limite é 1.

Passo 5

Agora, vamos considerar o caminho onde $ x = 0 $. Substituindo na função:
x = 0
À medida que $ y $ se aproxima de 0, $ -y $ também se aproxima de 0. Então, pelo caminho do eixo f(0, y) = 0^2 - y^20^2 + y = -y^2y = -y , o limite é 0.

Passo 6

Observamos que pelos caminhos diferentes, os limites são diferentes: pelo eixo x dá 1 e pelo eixo y dá 0. Isso indica que o limite geral não existe, pois não é o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar em (0,0).

Passo 7

Já que o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y) não existe (ou seja, não é igual a 0), podemos concluir que a função não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função $ f(x, y) $ não é contínua em f(x, y) .

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