Considere a função .
Determine f(x, y)=lx^2-y^2x^2+y, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0) e fx(x, y) para fy(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido! A gente tem uma função $ f(x, y) $ definida por partes:
f(x, y)
O objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a $ x $ e a $ y $ quando $ (x, y) $ não é o ponto $ (0,0) $. Ou seja, queremos $ f_{x}(x, y) $ e $ f_{y}(x, y) $ para $ (x, y) \neq (0,0) $.

Passo 2

Vamos começar encontrando $ f_{x}(x, y) $, que é a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. Como $ f(x, y) = \frac{x^{2} - y{2}}{x{2} + y} $ para $ (x, y) \neq (0,0) $, precisamos usar a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se temos uma função $ \frac{u}{v} $, então:
fx(x, y)
Aqui, $ u = x^{2} - y^{2} $ e $ v = x^{2} + y $.
Primeiro, vamos encontrar $ \frac{\partial u}{\partial x} $ e $ \frac{\partial v}{\partial x} $:
f
x
Agora, aplicando a regra do quociente:
f(x, y) = x^2 - y^2x^2 + y
Vamos simplificar o numerador:
(x, y) neq (0,0)
Então, $ f_{x}(x, y) $ fica:
uv

Passo 3

Agora vamos encontrar $ f_{y}(x, y) $, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. Novamente, usando a regra do quociente para $ f(x, y) = \frac{x^{2} - y{2}}{x{2} + y} $.
Aplicando a mesma regra:
fy(x, y)
Onde $ u = x^{2} - y^{2} $ e $ v = x^{2} + y $.
Calculando as derivadas parciais:
f
y
Aplicando na regra do quociente:
f(x, y) = x^2 - y^2x^2 + y
Simplificando o numerador:
partialpartial y(uv) = v cdot partial upartial y - u cdot partial vpartial yv^2
Portanto, $ f_{y}(x, y) $ é:
u = x^2 - y^2

Resposta

As derivadas parciais da função $ f(x, y) $ para $ (x, y) \neq (0,0) $ são:
f(x, y)
e
(x, y) neq (0,0)

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