Considere a função:
(a) Determine: \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x).
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}+1, x<2 \\\ k x+3, x \geq 2 \end{array}\right.
(b) Qual o valor k deve assumir para que f seja contínua em x=2 ?
(c) A funçāo é contínua em todo \mathbb{R} ? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função por partes é
f(x)=\begin{cases} x^{2}+1, & x<2,\\[4pt] k x+3, & x\ge 2. \end{cases}
  • Perguntas:
    1. (a) Determinar \lim_{x\to 2^{+}} f(x) e \lim_{x\to 2^{-}} f(x).
    2. (b) Determinar o valor de k para que f seja contínua em x=2.
    3. (c) A função é contínua em todo \mathbb{R}? Justificar.]

Passo 2

Breve lembrete sobre limites laterais e continuidade (explicado passo a passo, sem pressa).
  • Definição prática de limite lateral:
    • \lim_{x\to 2^{-}} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2).
    • \lim_{x\to 2^{+}} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de 2 pela direita (valores maiores ou iguais a 2, mas próximos de 2).
  • Sobre continuidade em um ponto x=2: f é contínua em 2 se, e somente se,
    1. \lim_{x\to 2^{-}} f(x) existe,
    2. \lim_{x\to 2^{+}} f(x) existe,
    3. e os dois limites são iguais entre si e iguais a f(2).
  • Observação útil: funções polinomiais e afins ( x^2+1, kx+3) são contínuas onde estão definidas, então para calcular limites dentro de cada ramo basta substituir o ponto (ou seja, "fazer x\to2" diretamente nesses polinômios).

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 2^{-}} f(x).
  • Para x<2 vale f(x)=x^{2}+1. Como x^{2}+1 é polinomial (continua), podemos substituir x=2:
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{-}} (x^{2}+1)=2^{2}+1=4+1=5.
  • Então \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=5.

Passo 4

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to 2^{+}} f(x) e o valor de f(2).
  • Para x\ge 2 vale f(x)=k x+3. Novamente é uma função linear (continua), então:
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} (k x+3)=k\cdot 2 + 3 = 2k+3.
  • Como a definição indica f(2) é tomada pelo ramo x\ge2, temos
f(2)=2k+3.

Passo 5

Encontrar k para continuidade em x=2 (parte (b)).
  • Pelo critério de continuidade em 2 devemos ter
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=f(2).
  • Substituindo os valores que já obtivemos:
5 \stackrel{!}{=} 2k+3.
  • Resolver para k:
2k+3=5 \quad\Rightarrow\quad 2k=2 \quad\Rightarrow\quad k=1.
  • Portanto k=1 é o único valor que torna os limites igual e igual a f(2), garantindo continuidade em x=2.

Passo 6

Responder se f é contínua em todo \mathbb{R} (parte (c)) e justificar.
  • Para x\neq 2: cada ramo é uma função polinomial/linear, que são contínuas em todos os pontos do seu domínio; assim não há problema de continuidade em pontos diferentes de 2.
  • O único ponto que poderia causar descontinuidade é x=2, pois aí a definição muda de ramo.
  • Conclusão:
    • Se k=1, então \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=5, \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=2\cdot1+3=5 e f(2)=5. Logo f é contínua em 2 e, assim, contínua em todo \mathbb{R}.
    • Se k\neq 1, então \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=5 e \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=2k+3\neq5, portanto a descontinuidade ocorre em x=2 e f não é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=2k+3
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=5
k=1 para que f seja contínua em x=2.
f é contínua em todo \mathbb{R} se, e somente se, k=1; caso contrário há descontinuidade em x=2.

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