Considere a função:
(a) Determine:
e
.
(b) Qual o valor
deve assumir para que
seja contínua em
?
(c) A funçāo é contínua em todo
? Justifique.
(a) Determine:
(c) A funçāo é contínua em todo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A função por partes é
- Perguntas:
- (a) Determinar
e . - (b) Determinar o valor de
para que seja contínua em . - (c) A função é contínua em todo
? Justificar.]
- (a) Determinar
Passo 2
Breve lembrete sobre limites laterais e continuidade (explicado passo a passo, sem pressa).
- Definição prática de limite lateral:
-
é o valor que se aproxima quando se aproxima de pela esquerda (valores menores que ). -
é o valor que se aproxima quando se aproxima de pela direita (valores maiores ou iguais a , mas próximos de ).
-
- Sobre continuidade em um ponto
: é contínua em se, e somente se, -
existe, -
existe, - e os dois limites são iguais entre si e iguais a
.
-
- Observação útil: funções polinomiais e afins (
, ) são contínuas onde estão definidas, então para calcular limites dentro de cada ramo basta substituir o ponto (ou seja, "fazer " diretamente nesses polinômios).
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda
.
- Para
vale . Como é polinomial (continua), podemos substituir :
- Então
.
Passo 4
Calcular o limite pela direita
e o valor de
.
- Para
vale . Novamente é uma função linear (continua), então:
- Como a definição indica
é tomada pelo ramo , temos
Passo 5
Encontrar
para continuidade em
(parte (b)).
- Pelo critério de continuidade em
devemos ter
- Substituindo os valores que já obtivemos:
- Resolver para
:
- Portanto
é o único valor que torna os limites igual e igual a , garantindo continuidade em .
Passo 6
Responder se
é contínua em todo
(parte (c)) e justificar.
- Para
: cada ramo é uma função polinomial/linear, que são contínuas em todos os pontos do seu domínio; assim não há problema de continuidade em pontos diferentes de . - O único ponto que poderia causar descontinuidade é
, pois aí a definição muda de ramo. - Conclusão:
- Se
, então , e . Logo é contínua em e, assim, contínua em todo . - Se
, então e , portanto a descontinuidade ocorre em e não é contínua em todo .
- Se