Sendo a função
:
(a) Determine a primeira derivada da função.
(b) Classifique tais pontos críticos.
(c) No caso da função dada, qual a justificativa para a existência de extremos globais?
(d) Determine os valores de máximo e mínimo globais.
(a) Determine a primeira derivada da função.
(b) Classifique tais pontos críticos.
(c) No caso da função dada, qual a justificativa para a existência de extremos globais?
(d) Determine os valores de máximo e mínimo globais.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
e pede quatro coisas:
- (a) Determinar a primeira derivada da função.
- (b) Classificar os pontos críticos (ou seja, dizer se são máximo, mínimo ou nenhum dos dois).
- (c) Justificar por que, no caso dessa função, existem extremos globais no intervalo dado.
- (d) Determinar os valores do máximo e do mínimo globais (ou seja, onde e quanto valem).
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O domínio relevante é o intervalo fechado
. - Não há outras condições ou imagens. Vamos trabalhar só com essa função e esse intervalo.
Passo 2
Breve aula: o que é a derivada e por que a usamos aqui.
- A derivada
mede a inclinação (taxa de variação) da função em cada ponto . Na prática, para achar pontos onde a função pode ter extremos internos (máximo ou mínimo dentro do intervalo, não nas bordas), procuramos os pontos onde ou onde não existe — esses são os pontos críticos. - Regra prática útil: para um polinômio, a derivada existe para todo
. Então só precisamos resolver para achar pontos críticos internos. - Regra do poder (power rule): para
tem-se . Vou aplicar isso termo a termo.
Passo 3
Aplicando a regra do poder para cada termo de
:
- Derivada de
: coefficients e , então . - Derivada de
: isto é , então .
Somando os termos, obtemos a primeira derivada
Passo 4
Definição e cálculo dos pontos críticos:
- Lembrete: pontos críticos são pontos onde
ou não está definida. Aqui é polinomial, logo está definida para todo , então buscamos soluções de .
Resolver
Isolando
:
Portanto o único ponto crítico interior ao domínio real é
. Como
está dentro do intervalo
, é um candidato a extremo interno.
Passo 5
Classificação do ponto crítico (teste da segunda derivada) — explicação antes:
- O teste da segunda derivada diz: se
então é côncava para cima em e é mínimo local; se então é côncava para baixo e é máximo local; se o teste é inconclusivo. - A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
.
Calcule
:
Aqui
para todo
, ou seja, é sempre negativa. Em particular, em
temos
. Logo pelo teste da segunda derivada, o ponto crítico
é um máximo local (e, pela concavidade constante negativa, a função é côncava para baixo em todo o intervalo).
Passo 6
Justificativa para existência de extremos globais (teoria aplicada explicada de forma simples):
- Uma função polinomial é contínua para todo
. A função dada é, portanto, contínua em . - Um teorema básico (Teorema de Weierstrass) diz que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado
atinge um valor máximo e um valor mínimo nesse intervalo. Ou seja, garantimos existência de extremos globais porque a função é contínua em (intervalo fechado e limitado). - Prática importante para achar os extremos globais: avaliar a função em todos os pontos críticos internos e também nos extremos do intervalo (aqui
e ), e comparar os valores. O maior desses valores é o máximo global e o menor é o mínimo global.
Passo 7
Avaliar
no ponto crítico e nas bordas:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 8
Comparação e conclusão:
- Valores obtidos:
, , . - O maior valor entre estes é
em . Portanto o máximo global em é em . - O menor valor é
em . Portanto o mínimo global em é em .
Parabéns — você encontrou e justificou tudo: derivada, ponto crítico e classificação, razão da existência de extremos e seus valores.
Resposta
(a)
(b) O único ponto crítico é
; por
é máximo local (e único máximo interno).
(c) A função é polinomial, logo contínua em
; pelo Teorema de Weierstrass uma função contínua em intervalo fechado atinge máximo e mínimo globais.
(d) Máximo global:
em
Mínimo global: em
Mínimo global: