Sendo a função f(x)=-x^{2}+4 x, \operatorname{com} x \in[0,5] :
(a) Determine a primeira derivada da função.
(b) Classifique tais pontos críticos.
(c) No caso da função dada, qual a justificativa para a existência de extremos globais?
(d) Determine os valores de máximo e mínimo globais.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=-x^{2}+4x definida em [0,5] e pede quatro coisas:
  • (a) Determinar a primeira derivada da função.
  • (b) Classificar os pontos críticos (ou seja, dizer se são máximo, mínimo ou nenhum dos dois).
  • (c) Justificar por que, no caso dessa função, existem extremos globais no intervalo dado.
  • (d) Determinar os valores do máximo e do mínimo globais (ou seja, onde e quanto valem).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=-x^{2}+4x.
  • O domínio relevante é o intervalo fechado [0,5].
  • Não há outras condições ou imagens. Vamos trabalhar só com essa função e esse intervalo.

Passo 2

Breve aula: o que é a derivada e por que a usamos aqui.
  • A derivada f'(x) mede a inclinação (taxa de variação) da função em cada ponto x. Na prática, para achar pontos onde a função pode ter extremos internos (máximo ou mínimo dentro do intervalo, não nas bordas), procuramos os pontos onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe — esses são os pontos críticos.
  • Regra prática útil: para um polinômio, a derivada existe para todo x. Então só precisamos resolver f'(x)=0 para achar pontos críticos internos.
  • Regra do poder (power rule): para g(x)=a x^{n} tem-se g'(x)=a n x^{n-1}. Vou aplicar isso termo a termo.

Passo 3

Aplicando a regra do poder para cada termo de f(x)=-x^{2}+4x:
  • Derivada de -x^{2}: coefficients a=-1 e n=2, então \dfrac{d}{dx}(-x^{2})=-1\cdot 2 x^{1}=-2x.
  • Derivada de 4x: isto é 4x^{1}, então \dfrac{d}{dx}(4x)=4\cdot 1\cdot x^{0}=4.
    Somando os termos, obtemos a primeira derivada
f'(x)=-2x+4.

Passo 4

Definição e cálculo dos pontos críticos:
  • Lembrete: pontos críticos são pontos onde f'(x)=0 ou f'(x) não está definida. Aqui f'(x) é polinomial, logo está definida para todo x, então buscamos soluções de f'(x)=0.
    Resolver
-2x+4=0.
Isolando x:
-2x=-4 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Portanto o único ponto crítico interior ao domínio real é x=2. Como x=2 está dentro do intervalo [0,5], é um candidato a extremo interno.

Passo 5

Classificação do ponto crítico (teste da segunda derivada) — explicação antes:
  • O teste da segunda derivada diz: se f''(x_0)>0 então f é côncava para cima em x_0 e x_0 é mínimo local; se f''(x_0)<0 então é côncava para baixo e x_0 é máximo local; se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.
  • A segunda derivada é a derivada da primeira derivada: f''(x)=\dfrac{d}{dx}f'(x).
Calcule f''(x):
f''(x)=\dfrac{d}{dx}(-2x+4)=-2.
Aqui f''(x)=-2 para todo x, ou seja, é sempre negativa. Em particular, em x=2 temos f''(2)=-2<0. Logo pelo teste da segunda derivada, o ponto crítico x=2 é um máximo local (e, pela concavidade constante negativa, a função é côncava para baixo em todo o intervalo).

Passo 6

Justificativa para existência de extremos globais (teoria aplicada explicada de forma simples):
  • Uma função polinomial é contínua para todo x. A função dada é, portanto, contínua em [0,5].
  • Um teorema básico (Teorema de Weierstrass) diz que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado [a,b] atinge um valor máximo e um valor mínimo nesse intervalo. Ou seja, garantimos existência de extremos globais porque a função é contínua em [0,5] (intervalo fechado e limitado).
  • Prática importante para achar os extremos globais: avaliar a função em todos os pontos críticos internos e também nos extremos do intervalo (aqui x=0 e x=5), e comparar os valores. O maior desses valores é o máximo global e o menor é o mínimo global.

Passo 7

Avaliar f no ponto crítico e nas bordas:
  • Calcular f(2):
f(2) = -(2)^{2} + 4\cdot 2 = -4 + 8 = 4.
  • Calcular f(0):
f(0) = -(0)^{2} + 4\cdot 0 = 0.
  • Calcular f(5):
f(5) = -(5)^{2} + 4\cdot 5 = -25 + 20 = -5.

Passo 8

Comparação e conclusão:
  • Valores obtidos: f(2)=4, f(0)=0, f(5)=-5.
  • O maior valor entre estes é 4 em x=2. Portanto o máximo global em [0,5] é 4 em x=2.
  • O menor valor é -5 em x=5. Portanto o mínimo global em [0,5] é -5 em x=5.
    Parabéns — você encontrou e justificou tudo: derivada, ponto crítico e classificação, razão da existência de extremos e seus valores.

Resposta

(a) f'(x)=-2x+4
(b) O único ponto crítico é x=2; por f''(2)=-2<0 é máximo local (e único máximo interno).
(c) A função é polinomial, logo contínua em [0,5]; pelo Teorema de Weierstrass uma função contínua em intervalo fechado atinge máximo e mínimo globais.
(d) Máximo global: f(2)=4 em x=2
Mínimo global: f(5)=-5 em x=5

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